Beta-Verteilung

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1 Definition

Eine stetige Zufallsgröße $X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;$ heißt beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) := \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann. $\Beta(\alpha,\beta)$ ist dabei die Beta-Funktion.

$\alpha,\,\beta,\,a$ und $b$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

2 Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße

Parameter
(vgl. Parameter der
standardisierten
Beta-Verteilung
)
$\alpha \in ]0,\infty[$
$\beta \in ]0,\infty[$
$a \in ]-\infty,\infty[$
$b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a$

$d := b-a > 0$
Dichtefunktion
$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \begin{cases} \frac{{(x-a)}^{\alpha -1}\cdot {(b-x)}^{\beta-1}}{{\Beta(\alpha,\beta)}\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit
$f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$
Träger
$f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ $
Verteilungsfunktion
$F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t$ ist nicht elementar darstellbar
Modus
$c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}$
$\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1$
Erwartungswert
$\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}$
Varianz
$\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$
Standardabweichung
$\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)} \sqrt{{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}}$

3 Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung

In Beta-Verteilung (standardisiert) wird eine speziellere Dichtefunktion $f_{\Beta V(\alpha,\beta)}$ definiert. Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:

$f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!$

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right) $

Und damit gilt auch die Beziehung:

$ F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right) $

(Beweis der zweiten Aussage)

4 Quellen

  1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. WikipediaEn: Beta distribution
  4. Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung

5 Siehe auch

  1. Brighton Webs Ltd.: Beta Distribution
  2. Dreiecksverteilung