Dreiecksverteilung

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1 Definition

Eine stetige Zufallsgröße \(\textstyle{X = D(a,b,c)}\) heißt dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$f_X(x) = f_{D(a,b,c)}(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann. \(\textstyle{a \in ]-\infty,\infty[}\), \(\textstyle{b \in ]a,\infty[}\) und \(\textstyle{c \in ]a,b[}\) heißen Parameter der Verteilung.

(vgl. Standard-Dreiecksverteilung)

2 Eigenschaften einer dreiecksverteilten Zufallsgröße

Parameter
(vgl. Parameter der
standardisierten
Dreiecksverteilung)
\(a \in ]-\infty,\infty[\)
\(b \in ]a,\infty[\)
\(c \in ]a,b[\)

\(d := b-a\!\)
\(m := \frac{c-a}{b-a} \in ]0,1[,\,1-m=\frac{b-c}{b-a},\,c = a+md = b - (1-m)d\)

\(m\) beschreibt den prozentualen Abstand von \(c\) zu \(a\) bzgl. \(b\)

\(1-m\) beschreibt den prozentualen Abstand von \(c\) zu \(b\) bzgl. \(a\)
Dichtefunktion
\( f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} \)
Stetigkeit
\(f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!\)
Träger
\(f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!\)
Verteilungsfunktion
\( F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1 & \mbox{wenn } b < x \end{cases} \)
Modus
\(\operatorname{md}_X = \{c\} = \{a+md\},\,f_X(c)=\frac{2}{b-a}=\frac{2}{d}\!\)
Erwartungswert
\(\mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3}\)
p-Quantil
\( F_X^{-1}(p) = \begin{cases} a+d\sqrt{mp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le m \\ b-d\sqrt{(1-m)(1-p)} & \mbox{wenn } m < p \le 1 \end{cases} \)
Median
\( F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{ {\sqrt{2d(c-a)} } }{2} = a+d\frac{ {\sqrt{2m} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 < m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} < c\\ a+\frac{d}{2} = b-\frac{d}{2} & \mbox{wenn } m = 0{,}5 \mbox{ bzw. } c = \frac{b+a}{2}\\ b-\frac{ {\sqrt{2d(b-c)} } }{2} = b-d\frac{ {\sqrt{2(1-m)} } }{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases} \)
Varianz
\(\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18}\)
Standardabweichung
\(\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{ {2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} } = \frac{d}{6} \sqrt{ {2(1-m+m^2)} }\)

3 Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung

Die Standard-Dreiecksverteilung hat eine speziellere Dichtefunktion \(\textstyle{f_{D(c)}}\). Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:

$f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)$

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:

$f_{D(a,b,c)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{D(m)}\left(\frac{x-a}{d}\right) $

(Beweis der zweiten Aussage)

4 Quellen

  1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. WikipediaEn: Triangular distribution
  4. Statwiki HU Berlin: Dreiecksverteilung

5 Siehe auch

  1. Beta-Verteilung