Algebraische Operation

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Algebraische Operation: Definition (von W. Kowarschick)

Ein Tupel $ (o, A, n, B) $ heißtDeskriptor einer algebraischen Operation oder – genauer – Deskriptor einer n-stelligen algebraische Operation auf der Trägermenge bzw. -klasse $ A $ mit dem Operatorenbereich $ B $, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• $ A $ ist eine beliebige Menge oder Klasse, die so genannte Trägermenge bzw. -klasse
• $ B $ ist eine beliebige Menge oder Klasse, der so genannte Operatorenbereich
• $ n \in \mathbb{N}_0 $
• $ o $ ist eine partielle Funktion mit $ \begin{cases} o: A^n \rightharpoonup A, & \text{falls }B=\emptyset\\ o: B \times A^n \rightharpoonup A, & \text{falls }B \not= \emptyset \end{cases} $

$ o $ heißt unter diesen Voraussetzungen algebraische Operation.

Eine algebraische Operation heißt innere algebraische Operation, wenn $ B=\emptyset $ gilt.

Eine algebraische Operation heißt äußere algebraische Operation, wenn $ B \not= \emptyset $ gilt.

Eine algebraische Operation heißt totale algebraische Operation, wenn es sich um eine totale Funktion handelt:

$ \begin{array}{ll} o: A^n \rightarrow A, & \text{falls }B=\emptyset \\ o: B \times A^n \rightarrow A, & \text{falls }B \not= \emptyset \end{array} $

Im ersten Fall handelt es sich dabei um eine innere totale algebraische Operation und im zweiten Fall um eine äußere totale algebraische Operation.

Eine algebraische Operation wird i. Allg. nur dann partielle algebraische Operation genannt, wenn es sich um eine echt-partielle, d.h. um eine nicht-totale Operation handelt (obwohl laut Definition totale Funktionen Spezialfälle von partiellen Funktionen sind).

Eine algebraische Operation $ o: A^n \rightharpoonup A $ oder $ o: B \times A^n \rightharpoonup A $ heißt

• nullär, falls $ n=0 $
• unär, falls $ n=1 $
• binär, falls $ n=2 $
• tenär, falls $ n=3 $

Eine nulläre innere Operation entspricht einer Konstanten, eine nulläre äußere Operation entspricht einer „parametrisierten“ Konstanten, d.h. einer ganzen Menge (oder Klasse) von Konstanten, die mittels Parametern $ b \in B $ ausgewählt werden können.

Die Klasse aller Deskriptoren algebraischer Operatoren wird mit $ \mathcal{D} $ bezeichnet:

$ \mathcal{D} = \{d: d \text{ ist Deskriptor einer algebraischen Operation}\} $

Anmerkungen

Diese Definition stammt von Wolfgang Kowarschick, um in diesem Wiki eine einheitliche Nomenklatur für Algebraische Operationen zur Verfügung zu haben.

Sie basiert auf Definitionen von Gellert, Kästner, Neuber (1979), Asser (1980), Meyberg (1980) und verallgemeinert diese (Details: siehe Algebraische Struktur).