Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)

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Satz

Es seien $ a \in ]-\infty,\infty[ $, $ b \in ]a,\infty[ $ (d.h. $ b > a $) und $ c \in ]a,b[ $.

Die Dichtefunktionen $ f_{D(a,b,c)} $ und $ f_{D((c-a)/d)} = f_{D((c-a)/(b-a))} $ seien wie in Dreiecksverteilung bzw. Standard-Dreiecksverteilung beschrieben definiert.

Aufgrund dieer obigen Voraussetzungen erfüllen die Parameter $ a,b,c $ die in der Definition der Dreiecksverteilung genannten Voraussetzungen.

Ebenso erfüllt $ \frac{c-a}{b-a} $ die in der Definition der Standard-Dreickesverteilung geforderte Bedingung $ \frac{c-a}{b-a} \in ]0,1[ $, da $ c-a>0 $, $ b-a>0 $ und $ c-a<b-a $.

Die Dichtefunktionen der Dreiecksverteilungen können mit Hilfe zweier affiner Transformationen $ t_1(x) = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}\cdot x - \frac{a}{b-a} $ und $ t_2(x) = \frac{1}{b-a}\cdot x $ aus den Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilung erzeugt werden (vgl. Verkettung von Funktionen):

$ f_{D(a,b,c)}(x) = t_2 \circ f_{D(a,b,c)} \circ t_1(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

Korrolar

Für die zugehörigen Verteilungsfunktionen folgt aus dem obigen Satz:

$ F_{D(a,b,c)}(x) = F_{D(a,b,c)} \circ t_1(x) = F_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

Veranschaulichung

Die Transformationsfunktion $ t_1 $ bildet das Interval $ [0,1] $ auf das Interval $ [a,b] $ ab, die Transformationsfunktion $ t_2 $ modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche „wieder“ 1 beträgt:

$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1 $

Beweis

Die Bedingungen $ x < a $ und $ \frac{x-a}{b-a} < 0 $ sowie $ x > b $ und $ \frac{x-a}{b-a} > 1 $ sind äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).

In den zugehörigen Intervallen $ ]-\infty,a[ $ bzw. $ ]-\infty,0[ $ sowie $ ]b, \infty[ $ bzw. $ ]1, \infty[ $ sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:

$ f_{D(a,b,c)}(x) = 0 = f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $ (Def. der Dichtefunktionen der standardisierten und der allgemeinen Dreiecksverteilung)

Für $ a \le x \le c $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le \frac{c-a}{b-a} $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

	$ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)} $
=	$ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{\frac{x-a}{b-a}}{\frac{c-a}{b-a}}} $	(Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung)
=	$ \displaystyle{\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}} $
=	$ \displaystyle{f_{D(a,b,c)}(x)} $	(Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)

Für $ c < x \le b $ bzw. die dazu äquivalente Bedingung $ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a} \le 1 $ (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

	$ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)} $
=	$ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{1-\frac{x-a}{b-a}}{1-\frac{c-a}{b-a}}} $	(Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung)
=	$ \displaystyle{\frac{2}{b-a}\cdot\frac{\frac{(b-a-x+a)}{b-a}}{\frac{(b-a-c+a)}{b-a}}} $
=	$ \displaystyle{\frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}} $
=	$ \displaystyle{f_{D(a,b,c)}(x)} $	(Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)

Damit ist die Behauptung für alle $ x \,\in\, ]-\infty,\infty[ \, = \, ]-\infty,a[ \,\cup\, [a,c] \,\cup\, ]c,b] \,\cup\, ]b,\infty[ $ gezeigt.

Beweis des Korrolars

	$ \displaystyle{F_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)} $
=	$ \displaystyle{\int_{-\infty}^x \! F'_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \, \mathrm{d} t} $	(Fundamentalsatz der Analysis)
=	$ \displaystyle{\int_{-\infty}^x \! \frac{1}{b-a}}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \, \mathrm{d} t $	(Definition der Verteilungsfunktion der standardisierten Dreiecksverteilung, Kettenregel)
=	$ \displaystyle{\int_{-\infty}^x \! f_{D(a,b,c)}(t) \, \mathrm{d} t} $	(obiger Satz)
=	$ \displaystyle{F_{D(a,b,c)}(x)} $	(Definition der Verteilungsfunktion der allgemeinen Dreiecksverteilung)

Quellen

1. Autor des Beweises: Wolfgang Kowarschick
2. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)

Siehe auch

1. Wikipedia:Affine_Transformation