Junktor: Unterschied zwischen den Versionen

aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
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{{Qualität
=Definition=
|correctness        = 4
Unter Content-Management (CM) versteht man die Verwaltung und Bearbeitung von
|extent              = 3
[[Digitales Medium|digitalen Medien]], dem so genannten [[Content]], und den
|numberOfReferences  = 2
[[Beziehung|Beziehungen]] zwischen diesen Medien.
|qualityOfReferences = 5
|conformance        = 5
}}


Die in diesem Wiki verwendeten Junktoren sind in [[GlossarWiki:Objektsprache]] beschrieben.
Diese Tätigkeiten erfolgt mit Hilfe von
so genannten [[Content-Management-System|Content-Management-Systemen]].


Alle nachfolgenden Definitionen sind im Falle von mehrwertigen Aussagelogiken – auch falls dies von den zitierten Autoren nicht erwähnt wird – ebenfalls gültig,
=Bemerkung=
d.h. im Falle von Aussagelogiken, denen mehr als die beiden [[Wahrheitswert]]e ''wahr'' und ''falsch'' zu Grunde liegen.
Der Begriff "Content Management" kam Ende des zweiten Jahrtausends auf.
Beispielsweise wurde für [[SQL]] eine dreiwertige Logik spezifiziert mit den Wahrheitswerten ''wahr'', ''falsch'' und ''unbekannt''.
Er hat sich sehr schnell zum vielgebrauchten und -missbrauchten Modewort
entwickelt.


==Definition des Begriffs „Junktor“ (Brockhaus (1990)<ref>{{Quelle|Brockhaus-Enzyklopädie (1990): Band 11 (IT-KIP)}}</ref>)==
=Siehe auch=
''Logik:'' eine log. Partikel, mit deren Hilfe [[endlich]] viele [[Aussage]]n zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Beispiele sind die
[[Abjunktion]], die [[Adjunktion]], die [[Bijunktion]], die [[Konjunktion]], die [[Subbjunktion]] und die [[Negation]].
Alle zweistelligen J. lassen sich auf den [[Sheffer-Strich]] zurückführen.


==Definition des Begriffs „Junktor“  (Bronstein, Semendjajew (1979)<ref>{{Quelle|Bronstein, I. N.; Semendjajew, K.A. (1979): Taschenbuch der Mathematik}}, Seite 588</ref>)==
[[Wikipedia:Content-Management|Wikipedia: Content-Management]]


Sind $A_1$, $A_2$ [[Aussage]]n, so lassen sich durch sprachliche Verbindungen daraus neue '''Aussagen''' gewinnen:
[[Kategorie:Content-Management]]
„''nicht'' $A_1$“,  „$A_1$ ''und'' $A_2$“,  „$A_1$ ''oder'' $A_2$“,  „''wenn'' $A_1$, ''so'' $A_2$“,  „$A_1$ ''genau dann, wenn'' $A_2$“, 
[[en:Content Management]]
deren Wahrheitswert nur von den Wahrheitswerten der in ihnen vorkommenden Teilaussagen abhängt (''Extensionalitätsprinzip der Aussagenlogik'').
 
==Definition des Begriffs „Aussagefunktor“ (Menne (1973)<ref>{{Quelle|Menne (1973)}}, S. 33, S. 35</ref>)==
Albert Menne nennt [[Funktor]]en, „die Aussagen umformen oder verbinden zu einer neuen Aussage“ '''Aussagefunktoren'''. Er unterscheidet zwischen '''monadischen''' (einstelligen), '''dyadischen''' (zweistelligen) und '''triadischen''' (dreistelligen)  Aussagefunktoren.
 
===Anmerkung===
 
Menne weißt daraufhin, dass dyadische Aussagefunktoren von [[Paul Lorenzen]]<ref>{{Quelle|Lorenzen (1958)}}</ref> '''Junktoren''' genannt werden.
In der nachfolgenden Definition von Kowarschick wird dagegen nicht zwischen ''Aussagefunktoren'' und ''Junktoren'' unterschieden.
 
==Definition des Begriffs „Junktor“ ([[Metasprache|Metametasprache]]  „Deutsch“, [[Wolfgang Kowarschick|Kowarschick]])==
Unter einem [[Junktor]] ([[Aussageverknüpfung]], [[Aussagefunktor]]) versteht man einen [[Funktor]] mit dessen Hilfe
[[endlich]] viele [[Aussage]]n zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Der [[Wahrheitswert]] der neuen Aussage hängt
nur von den Wahrheitswerten der zugehörigen Teilaussagen ab.
 
Ein Junktor heißt $n$-stellig, wenn er genau $n$ Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft.
 
Die [[Semantik]] eines Junktors wird mit Hilfe einer sogenannten [[Wahrheitstafel]] festgelegt.
Eine Wahrheitstafel definiert für jede mögliche Kombination von Wahrheitswerten den Ergebnis-Wahrheitswert des Junktors.
 
===Anmerkung===
In den nachfolgenden Abschnitten [[#Junktoren_der_zweiwertigen_Logik|Junktoren der zweiwertigen Logik]]
und [[#Junktoren_der_dreiwertigen_Logik|Junktoren der dreiwertigen Logik]] wird die Semantik mehrerer wichtiger Junktoren mit Hilfe von Wahrheitstafeln definiert.
 
==Definition des Begriffs „Junktor“ ([[Metasprache|Objektsprache]]  „[[Klasse_(Mengenlehre)|Mengenlehre]]“, [[Wolfgang Kowarschick|Kowarschick]])==
 
Es sei $W$ eine Menge von [[Wahrheitswert]]en, d.h., $W$ sei endlich und habe mindenstens zwei Elemente:
 
<div class="formula">$2 \le |W| < \omega$</div>
 
Es sei überdies $n$ eine natürliche Zahl:
 
<div class="formula">$n \in \omega$</div>
 
Eine Funktion $j$ mit [[Definitionsbereich]]
$W^n$ und [[Wertebereich]] $W$, d.h. eine Funktion, die einem $n$-[[Tupel]] von Wahrheitswerten einen neuen Wahrheitswert zuweist,
wird $n$-stelliger [[Junktor]] genannt: 
 
<div class="formula">${\rm{Junktor}}(W,j,n) \;:\leftrightarrow\; 2 \le |W| < \omega \,\wedge\, n\in\omega \,\wedge\, j: W^n \rightarrow W$</div>
 
Die Menge $\mathbb{J_{W,n}} := \{j|j: W^n \rightarrow W\}$ heißt '''Menge aller $n$-stelligen Junktoren über die Wahrheitswerte $W$'''.
 
Die Menge $\mathbb{J_n} := \mathbb{J_{\{0,1\},n}}$ heißt '''Menge aller $n$-stelligen Junktoren'''. Die zugehörigen Wahrheitswerte $0$ (für <code>False</code>)
und $1$ (für <code>True</code>) sind die Wahrheitswerte der klassischen [[Zweiwertige Logik|zweiwertigen Logik]].
 
===Anmerkungen===
Bei $\mathbb{J_{W,n}}$ handelt es sich tatsächlich um eine [[Menge]] und nicht um eine [[Unmenge]], da $W$ und $n$
Mengen sind.
 
{{TBD|Entsprechenden Satz in Wiki einfügen und zitieren.}}
 
Die beiden Definitionen von Kowarschick unterscheiden sich hinsichtlich der Sprachebene. Zum einen wurden Junktoren mit Hilfe der
[[Metasprache|Metametasprache]] „Deutsch“ definiert und zum anderen mit Hilfe der Objektsprache der „Mengenlehre“. Der Gund ist, dass
es bei der Definition der Logik und der Definition der Mengenlehre ein klassisches [[Henne-Ei-Problem]] gibt (vgl. [[Metatheorie#Bedeutung_der_Metatheorien|Metatheorie]]).
Aus diesem Grund wurden zwei Definitionen angegeben: Ein informelle, die zur [[Formalisierung der Mathematik]] verwendet werden kann, und
eine formale, die beispielsweise zum Beweis von Eigenschaften von Juktoren mit Hilfe der Mengenlehre eingesetzt werden kann.
 
==Eigenschaften==
{{Theorem
|id          = anzahl_junktoren
|section    = 3
|title      = Anzahl der Junktoren
|proposition = Für eine $m$-wertige Aussagelogik gibt es $m^{m^n} = m^{(m^n)}$ $n$-stellige Junktoren:
<div class="formula">${{!}}W{{!}} = m < \omega,\, n \in \omega \;\vDash\; {{!}}\mathbb{J}_{W,n}{{!}} = m^{(m^n)}$</div>
|note        = Die Aussage stimmt auch für eine Menge mit nur einem ($m=1$) oder gar keinem ($m=0$) Wahrheitswert . Allerdings gibt es für derartige Wahrheitswertmengen keine praktische Anwendung in der Logik. (Dem Fall $m=0$ liegt folgende Festlegung zugrunde: $0^n = 0$ für $n \in \omega$, d.h. $m^{(m^n)} = 0^{(0^n)} = 0^0 = 0$.)
|proof      =
Die Menge ${{(}}f{{!}}f: A \rightarrow B{{)}} $ aller Funktionen $f: A \rightarrow B$
hat die Mächtigkeit ${{!}}B{{!}}^{\,{{!}}A{{!}} }$({{Quelle:Math|Ebbinghaus_(2003)|Ebbinghaus}}, S. 80, Satz 3.8, (iii)).
 
Die Menge $\mathbb{J}_{W,n} =  {{(}}j{{!}}j: W^n \rightarrow W{{)}} $
aller $n$-stelligen Junktoren hat also die Mächtigkeit ${{!}}W{{!}}^{\,{{!}}W^n{{!}} }\rm{.}$
 
Da laut Voraussetzung ${{!}}W{{!}} = m$ und damit ${{!}}W^n{{!}} = m^n$ ({{Quelle:Math|Ebbinghaus_(2003)|Ebbinghaus}}, S. 80, Satz 3.8, (ii)),<br/>
ist die Aussage bewiesen: ${{!}}\mathbb{J}_{W,n}{{!}} = m^{(m^n)}$
}}
 
==Junktoren der zweiwertigen Logik==
 
Der zweiwertigen Logik liegen in diesem Wiki die beiden Wahrheitswerte T für <code>TRUE</code>/„wahr“ und
F für <code>FALSE</code>/„falsch“ zugrunde. In den nachfolgenden drei Abschnitten werden Junktoren für
die in diesem Wiki verwendete [[Metasprache]] definiert. Im daran anschließenden Abschnitt
[[#Mengentheoretische_Definition_von_Junktoren|Mengentheoretische Definition von Junktoren]]
werden dann dieselben Junktoren für die in diesem Wiki verwendete [[Metasprache|Objektsprache]] definiert.
 
In der Literatur werden teilweise andere Symbole verwendet als in diesem Wiki oder hier verwendete Symbole anders eingesetzt.
 
===Nullstellige Junktoren===
 
Es gibt insgesamt zwei ($2^{2^{0}}$) nullstellige (konstante) Junktoren.
 
{| class="wikitable"
|-
! Namen  !! Symbol !! style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte
|- style="border-bottom: 2px solid #000;"
| '''[[Verum]]'''  || $\top$ || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T
|-
| '''[[Falsum]]''' || $\bot$ || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F
|}
 
Die Begriffe „Verum“ und „Falsum“ finden sich bereits bei Peano (1989)<ref name="Peano (1889)">{{Quelle|Peano (1889)}}, S. VIII</ref>.
Er verwendet dafür die Symbole $\rm{V}$ und $\Lambda$, wobei $\Lambda$ bei ihm außerdem die [[leere Menge]] bezeichnet. Er erwähnt außerdem, dass  $\rm{V}$
die [[Allklasse]] wäre, von ihm aber nicht in diesem Sinne benutzt wird:
 
{{Quote|[Signo $\rm{V}$, quod classem ex omnibus induviduis constitutam, de quibus queastio est, indicat, non utimur].<ref name="Peano (1889)"/>}}
 
===Einstellige Junktoren===
 
Es gibt insgesamt vier ($2^{2^{1}}$) einstellige Junktoren. Zwei dieser Junktoren bilden die beiden nullstelligen Junktoren nach und erhalten daher keine eigenen Symbole.
 
{| class="wikitable" style="float:left; margin-right:1em"
|-
! Namen  !! Symbol !! colspan="2" style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte
|- style="border-bottom: 2px solid #000;"                 
|                    ||                                                  || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | <math>a</math><br/>T || style="text-align:center" | <math>a</math><br/>F
|-
| '''[[Identität]]''' || <math>{\rm{id}}(a)</math>                          || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F
|-
| '''[[Negation]]'''  || <math>{\neg}a</math>                            || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T
|-
|}
{| class="wikitable" style="float:left"
|-
! Namen  !! colspan="2" style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte
|- style="border-bottom: 2px solid #000;"
|                || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | <math>a</math><br/>T || style="text-align:center" | <math>a</math><br/>F
|-
| '''Verum'''    || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | T
|-
| '''Falsum'''    || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | F
|-
|}
<div style="clear:both"></div>
 
===Zweistellige Junktoren===
 
Es gibt insgesamt sechszehn ($2^{2^{2}}$) zweistellige Junktoren. Sechs dieser Junktoren bilden die nullstelligen bzw. einstelligen Junktoren nach und erhalten daher (zumindest in diesem Wiki) keine eigenen Symbole.
{| class="wikitable" style="float:left; margin-right:1em"
|-
! Namen  !! Symbol !! colspan="4" style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte
|- style="border-bottom: 2px solid #000;"
|
|
| style="border-left: 2px solid #000;" |
{|
|<math>a</math>
|<math>b</math>
|-
|T
|T
|}
|
{|
|<math>a</math>
|<math>b</math>
|-
|T
|F
|}
|
{|
|<math>a</math>
|<math>b</math>
|-
|F
|T
|}
|
{|
|<math>a</math>
|<math>b</math>
|-
|F
|F
|}
|-
| '''[[Konjunktion]]''', '''[[AND]]'''                        || <math>a \wedge b</math>                                            || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F
|-
| '''[[Disjunktion]]''', '''[[Adjunktion]]''', '''[[OR (Junktor)|OR]]'''  || <math>a \vee b</math>                                              || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F
|- 
| '''[[Subjunktion]]''', '''[[Implikation]]''' || <math>a \rightarrow b</math>                                        || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T
|- 
| '''[[Konversion]]'''                        || <math>a \leftarrow b</math>                                        || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T
|-
| '''[[Bijunktion]]'''                        || <math>a \leftrightarrow b</math>                                    || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T
|-
| '''[[Sheffer-Strich]]''', '''[[NAND]]'''    || <math>a \mid b</math>                  || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T
|-
| '''[[Peirce-Funktion]]''', '''[[NOR]]'''    || <math>a \overline\vee b</math>, <math>a ↓ b</math>                                      || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T
|-
| '''[[Kontravalenz]]''', '''[[XOR]]'''        || <math>a \not\leftrightarrow b</math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F
|-
| '''[[Postsektion]]''', '''Nur a'''          || <math>a \not\rightarrow b</math>                                    || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F
|-
| '''[[Präsektion]]''',  '''Nur b'''          || <math>a \not\leftarrow b</math>                                    || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F
|}
{| class="wikitable" style="float:left"
|-
! Namen  !! colspan="4" style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte
|- style="border-bottom: 2px solid #000;"
|
| style="border-left: 2px solid #000;" |
{|
|<math>a</math>
|<math>b</math>
|-
|T
|T
|}
|
{|
|<math>a</math>
|<math>b</math>
|-
|T
|F
|}
|
{|
|<math>a</math>
|<math>b</math>
|-
|F
|T
|}
|
{|
|<math>a</math>
|<math>b</math>
|-
|F
|F
|}
|-
| '''Verum'''                        || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T
|-
| '''Falsum'''                      || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F
|-
| '''Identität von <math>a</math>''' || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F
|-
| '''Identität von <math>b</math>''' || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F
|-
| '''Negation von <math>a</math>'''  || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T
|-
| '''Negation von <math>b</math>'''  || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T
|}
<div style="clear:both"></div>
 
===Mengentheoretische Definition von Junktoren===
 
Bei den Elementen der Menge $\mathbb{J_n}$ der $n$-stelligen Junktoren handelt es sich um [[Funktion]]en. Die wichtigsten dieser
Elemente erhalten eigenständige Namen, wobei die Namensgebung analog zu den zuvor definierten Wertetafeln erfolgt.
 
<div class="formula">$\mathbb{J_0}$:</div>
<div class="formula">$
\begin{array}[t]{lclr}
\top                & := & \{(1)\} & ({\rm{Verum}}) \\
\bot                & := & \{(0)\} & ({\rm{Falsum}})\\
\end{array}
$</div><br/>
 
<div class="formula">$\mathbb{J_1}$:</div>
<div class="formula">$
\begin{array}[t]{lclr}
\rm{id}            & := & \{(1,1), (0,0)\} & ({\rm{Identität}}) \\
\lnot              & := & \{(1,0), (0,1)\} & ({\rm{Negation}})  \\
\end{array}
$</div><br/>
 
<div class="formula">$\mathbb{J_2}$:</div>
<div class="formula">$
\begin{array}[t]{lclr}
\wedge              & := & \{(1,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,0)\} & (\text{Konjunktion}, AND) \\
\vee                & := & \{(1,1,1), (1,0,1), (0,1,1), (0,0,0)\} & (\text{Disjunktion}, OR) \\
\rightarrow        & := & \{(1,1,1), (1,0,1), (0,1,0), (0,0,1)\} & (\text{Implikation}) \\
\leftarrow          & := & \{(1,1,1), (1,0,0), (0,1,1), (0,0,1)\} & (\text{Konversion}) \\
\leftrightarrow    & := & \{(1,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\} & (\text{Bijunktion}) \\
\mid                & := & \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)\} & (\text{Shefferstrich, NAND}) \\
\overline\vee      & := & \{(1,1,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\} & (\text{Peirce-Funktion, NOR}) \\
\not\leftrightarrow & := & \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (0,0,0)\} & (\text{Kontravalenz, XOR}) \\
\not\rightarrow    & := & \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,0), (0,0,0)\} & (\text{Postsektion, Nur a}) \\
\not\leftarrow      & := & \{(1,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (0,0,0)\} & (\text{Präsektion, Nur b})
\end{array}
$</div>
 
Die zweistelligen Funktionen werden normalerweise in [[Infixnotation]] ($a \wedge b$) und nicht in [[Präfixnotation]] ($\wedge(a,b)$) geschrieben.
 
==Junktoren der dreiwertigen Logik==
Der dreiwertigen Logik liegen in diesem Wiki die drei Wahrheitswerte T für <code>TRUE</code>, „wahr“,
U für <code>UNKNOWN</code>, „unbekannt“ oder auch „undefiniert“ und F für <code>FALSE</code>, „falsch“ zugrunde.
Bei den dreistelligen Junktoren werden für die [[Metasprach|Objekt-]] und die [[Metasprache]] dieselben Symbole verwendet, da
die dreiwertige Logik in diesem Wiki nicht zur [[Formalisierung der Mathematik]] eingesetzt werden soll.
Es besteht also keine Notwendigkeit zwischen diesen beiden Ebenen zu unterscheiden.
 
===Nullstellige Junktoren===
 
Es gibt insgesamt drei ($3^{3^{0}}$) nullstellige (konstante) Junktoren:
 
{| class="wikitable"
|- style="border-bottom: 2px solid #000;"
! Namen  !! Symbol !! style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte
|-
| '''[[Verum]]''', <code>TRUE</code>    || <math> \top </math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T
|-
| '''[[Incertum]]''', '''[[Ingnotum]]''', <code>UNKNOWN</code> || <math> U </math>    || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | U
|-
| '''[[Falsum]]''', <code>FALSE</code>  || <math> \bot </math> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F
|}
 
Die Bezeichnungen „Incertum“ und „Ingnotum“ für den Wahrheitswert  „U“ wurden von [[Wolfgang Kowarschick]] eingeführt.
Wenn  „U“ für „unbestimmt“ steht, ist „Incertum“ passender.
Manchmal steht „U“ aber auch für „unbekannt“. In diesem Fall ist die Bezeichnung „Ingnotum“ treffender.
 
===Einstellige Junktoren===
 
Es gibt insgesamt 27 ($3^{3^{1}}$) einstellige Junktoren. Allein für die Negation und die Identität gibt es jeweils schon drei mögliche Varianten:
{| class="wikitable" style="float:left; margin-right:1em"
|-
! Namen  !! Symbole !! colspan="3" style="border-left: 2px solid #000;" | Wahrheitswerte !! style="border-left: 2px solid #000;" |identisch zu
|- style="border-bottom: 2px solid #000;"
|                                                          ||          || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | <math>a</math><br/>T || style="text-align:center" | <math>a</math><br/>U || style="text-align:center" | <math>a</math><br/>F || style="border-left: 2px solid #000;" |
|-
| '''starke Negation'''                        || $\lnot a$, <code>NOT a</code> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | U || style="text-align:center" | T || style="border-left: 2px solid #000;" |
|-
| '''schwache Negation''', '''ist nicht wahr''' || ${\sim}a$ || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T || style="border-left: 2px solid #000;" | ${-}{-}\lnot a$, ${\lnot}{-}\lnot a$
|-
|                                            || $-a$      || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T || style="border-left: 2px solid #000;" | ${\sim}{\sim}\lnot a$, ${\lnot}{\sim}\lnot a$
|}
<div style="clear:both"></div>
 
{| class="wikitable" style="float:left;"
|-
! Namen  !! Symbole !! colspan="3" style="border-left: 2px solid #000;" |  Wahrheitswerte !! style="border-left: 2px solid #000;" |identisch zu
|- style="border-bottom: 2px solid #000;"
|                                    ||              || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | <math>a</math><br/>T || style="text-align:center" | <math>a</math><br/>U || style="text-align:center" | <math>a</math><br/>F || style="border-left: 2px solid #000;" |
|-
| '''Identität''' || ${\rm{id}}(a)$  || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | U || style="text-align:center" | F  || style="border-left: 2px solid #000;" | $\lnot\lnot a$
|-
|                || ${\rm{idT}}(a)$  || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F  || style="border-left: 2px solid #000;" | ${\sim}\lnot a$, $\lnot{-}a$, ${-}\lnot a$, ${-}{-}a$
|-
|                || ${\rm{idF}}(a)$  || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F  || style="border-left: 2px solid #000;" | $\lnot{\sim}a$, ${\sim}{\sim}a$, ${-}\lnot a$, ${-}{\sim}a$
|}
<div style="clear:both"></div>
 
Mit Hilfe der starken und der schwachen Negation, lassen sich alle sechs der obigen Junktoren nachbilden.
In den meisten Fällen reicht die einfache oder die doppelte Negation, nur für $-a$ braucht man die dreifache Negation.
(Die dreifache Negation ist auch im Bayerischen weit verbreitet:  „I dring nia koa Wossa ned.“ :-) )
 
Darüber hinaus gibt es sechs einstellige Junktoren, um zu überprüfen, ob eine Aussage einen bestimmten Wert hat bzw. nicht hat:
{| class="wikitable" style="float:left; margin-right:1em"
|-
! Namen  !! Symbole !! colspan="3" style="border-left: 2px solid #000;" |  Wahrheitswerte !! style="border-left: 2px solid #000;" | identisch zu
|- style="border-bottom: 2px solid #000;"
|                                                            ||                            || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | <math>a</math><br/>T || style="text-align:center" | <math>a</math><br/>U || style="text-align:center" | <math>a</math><br/>F || style="border-left: 2px solid #000;" |
|-
| '''ist wahr''', '''is true'''                              || ${\rm{isT}}(a)$, <code>a IS TRUE</code> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | F || style="border-left: 2px solid #000;" | $\rm{idF}(a)$
|-
| '''ist unbekannt''', '''ist unbestimmt''', '''is unknown''' || ${\rm{isU}}(a)$, <code>a IS UNKNOWN</code> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F || style="border-left: 2px solid #000;" |
|-
| '''ist falsch''', '''is false'''                            || ${\rm{isF}}(a)$, <code>a IS FALSE</code> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T || style="border-left: 2px solid #000;" |  $-a$
|}
<div style="clear:both"></div>
 
{| class="wikitable" style="float:left;"
|-
! Namen  !! Symbole !! colspan="3" style="border-left: 2px solid #000;" |  Wahrheitswerte !! style="border-left: 2px solid #000;" | identisch zu
|- style="border-bottom: 2px solid #000;"
|                                    ||              || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | <math>a</math><br/>T || style="text-align:center" | <math>a</math><br/>U || style="text-align:center" | <math>a</math><br/>F || style="border-left: 2px solid #000;" |
|-
| '''ist nicht wahr''', '''is not true'''                          || ${\rm{isNT}}(a)$, <code>a IS NOT TRUE</code> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | F || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | T || style="border-left: 2px solid #000;" | ${\sim}a$
|-
| '''ist bekannt''', '''is known''' || ${\rm{isNU}}(a)$, ${\rm{isK}}(a)$, <code>a IS NOT UNKNOWN</code>  || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | F || style="text-align:center" | T || style="border-left: 2px solid #000;" | $\lnot{\rm{isU}}(a)$, ${\sim}{\rm{isU}}(a)$, $-{\rm{isU}}(a)$
|-
| '''ist nicht falsch''', '''is not false'''                        || ${\rm{isNF}}(a)$, <code>a IS NOT FALSE</code> || style="text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T || style="text-align:center" | T || style="text-align:center" | F || style="border-left: 2px solid #000;" | ${\rm{idT}}(a)$
|}
<div style="clear:both"></div>
 
Vier dieser Junktoren stimmen mit zuvor definierten Identitäts- und Negationsjunktoren überein. Die Junktoren $\rm{isU}$ und $\rm{isK}$ sind dagegen
neu. Das heißt, sie können nicht mit den zuvor definierten Junktoren nachgebildet werden.
 
Daraus folgt, dass beispielsweise  die ''starke Negation'' ($\lnot$), die ''schwache Negation'' ($\sim$; = Test auf Unwahrheit $\rm{isNT}$)
und der Test auf Unbestimmtheit ($\rm{isU}$) ausreichen, um alle acht der bislang definierten einstelligen Junktoren nachzubilden.
 
Gemäß Standard unterstütz SQL dreiwertige Logik. Folgende sieben der zuvor acht definierten einstelligen Junktoren gibt es (nur der Identitätsjunktor fehlt):<ref name="SQL">{{Quelle|Gulutzan, P.; Pelzer, T. (1999): SQL-99 complete}}</ref>
* <code>NOT</code>
* <code>IS TRUE</code>, <code>IS NOT TRUE</code>
* <code>IS UNKNOWN</code>, <code>IS NOT UNKNOWN</code>
* <code>IS FALSE</code>, <code>IS NOT FALSE</code>
 
===Zweistellige Junktoren===
 
Es gibt insgesamt 19683 ($3^{3^{2}}$) zweistellige Junktoren. Das heißt, eine vollständige Analyse aller
denkbaren Junktoren ist nicht nur sehr zeitauswändig, sondern auch noch ziemlich sinnleer.
 
Daher sollen nur ein paar sinnvolle Erweiterungsmöglihkeiten der wichtigsten zweistelligen Junktoren betrachtet werden.
In SQL werden beispielsweise drei der folgende vier Erweiterungen der zweiwertigen [[Konjunktion]], der zweiwertigen [[Disjunktion]],
der zweiwertigen [[Implikation]] und der zweiwertigen [[Bijunktion]] eingesetzt:<ref name="SQL"/>
 
{|
|
<div>
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" | $a \wedge b$, <code>a AND b</code>
|- style="border-bottom: 2px solid #000;" |
| style="width:40px;"| <div style="float:right">$b$</div><br/><div style="align:left">$a$</div>
|  style="width:30px; text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T
|  style="width:30px; text-align:center;"                              | U
|  style="width:30px; text-align:center;"                              | F
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | T
|| T
|| U
|| F
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | U
|| U
|| U
|| F
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | F
|| F
|| F
|| F
|}
</div>
| style="width:30px;" | &nbsp;
|
<div>
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" | $a \vee b$, <code>a OR b</code>
|- style="border-bottom: 2px solid #000;" 
| style="width:40px;"| <div style="float:right">$b$</div><br/><div style="align:left">$a$</div>
|  style="width:30px; text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T
|  style="width:30px; text-align:center;"                              | U
|  style="width:30px; text-align:center;"                              | F
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | T
|| T
|| T
|| T
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | U
|| T
|| U
|| U
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | F
|| T
|| U
|| F
|}
</div>
| style="width:30px;" | &nbsp;
|
<div>
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" | $a \rightarrow b$
|- style="border-bottom: 2px solid #000;" 
| style="width:40px;"| <div style="float:right">$b$</div><br/><div style="align:left">$a$</div>
|  style="width:30px; text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T
|  style="width:30px; text-align:center;"                              | U
|  style="width:30px; text-align:center;"                              | F
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | T
|| T
|| U
|| F
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | U
|| T
|| U
|| U
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | F
|| T
|| T
|| T
|}
</div>
</div>
| style="width:30px;" | &nbsp;
|
<div>
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" | $a \leftrightarrow b$, <code>a = b</code>
|- style="border-bottom: 2px solid #000;" 
| style="width:40px;"| <div style="float:right">$b$</div><br/><div style="align:left">$a$</div>
|  style="width:30px; text-align:center; border-left: 2px solid #000;" | T
|  style="width:30px; text-align:center;"                              | U
|  style="width:30px; text-align:center;"                              | F
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | T
|| T
|| U
|| F
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | U
|| U
|| U
|| U
|- style="text-align:center;"
|  style="border-right: 2px solid #000;"                              | F
|| F
|| U
|| T
|}
|}
 
Diesen Wahrheitstafeln, die auf Kleene<ref>{{Quelle|Kleene (1938)}}</ref> zurückgehen, liegen folgende
Überlegungen zugrunde:
* Die Konjunktion zweier Wahrheistwerte ist nur dann wahr, wenn beide Werte wahr sind. Ist nur einer der beiden Werte falsch, ist die Konjunktion falsch, unabhängig vom anderen Wert. In allen anderen Fällen ist der Wahrheitswert unbekannt.
* Die Konjunktion zweier Wahrheistwerte ist nur dann falsch, wenn beide Werte falsch sind. Ist nur einer der beiden Werte wahr, ist die Disjunktion wahr, unabhängig vom anderen Wert. In allen anderen Fällen ist der Wahrheitswert unbekannt.
* Die Implikation wird mit Hilfe der Wahrheittafeln von starker Negation und Disjunktion gebildet: $a \rightarrow b$ wird – analog wie im Falle der zweiwertigen Logik – als „Kurzschreibweise“ für $\lnot a \,\vee\, b$ festgelegt: Wenn $b$ wahr oder $a$ falsch ist, ist die Aussage „aus $a$ folgt $b$“ wahr. Wenn $b$ falsch und $a$ wahr ist, ist die Aussage „aus $a$ folgt $b$“ falsch. In allen anderen Fällen ist das Ergebnis der Aussage unbekannt.
* Die Bijunktion wird mit Hilfe der Wahrheisttafel der Implikation und Konjunktion gebildet: $a \leftrightarrow b$ wird als äquivalent zu $a \rightarrow b \,\wedge\, b \rightarrow a$ angesehen: Wenn von $a$ und/oder $b$ der Wahrheitswert unbekannt ist, ist die Äquivalenz der Wahrheitswerte unbekannt. Wenn $a$ und $b$ beide wahr oder beide falsch sind, sind sie äquivalent. Anderenfalls sind sie nicht äquivalent.
 
SQL unterstützt drei dieser vier Junktoren: Konjunktion (<code>AND</code>), Disjunktion (<code>AND</code>) und Äquivalenz (<code>=</code>).
Die Implikation gibt es nicht, kann aber mit Hilfe der Negation (<code>NOT</code>) und der Disjunktion (<code>OR</code>) nachgebildet werden.
 
===Mengentheoretische Definition von Junktoren===
Die dreiwertigen Junktoren können genauso wie die zweiwertigen Junktoren auch mengentheoretisch, d.h. als Funktionen definiert werden.
Als Wahrheitswerte werden die Werte $1$ für <code>TRUE</code>, $0$ für <code>FALSE</code> und $-1$ für <code>UNKNOWN</code> verwendet:
$W =\{-1,0,1\}$:
 
<div class="formula">$\mathbb{J_{W,0}}$:</div>
<div class="formula">$
\begin{array}[t]{lclr}
\top                & := & \{(1)\}  & (\text{Verum}) \\
\bot                & := & \{(0)\}  & (\text{Falsum})\\
U                  & := & \{(-1)\} & (\text{Incertum, Ingnotum})\\
\end{array}
$</div><br/>
 
<div class="formula">$\mathbb{J_{W,1}}$:</div>
<div class="formula">$
\begin{array}[t]{lclr}
\lnot              & := & \{(1,0),(0,1),(-1,-1)\}  & (\text{starkes Nicht}) \\
{\sim}              & := & \{(1,0),(0,1),(-1, 1)\}  & (\text{schwaches Nicht})\\
-                  & := & \{(1,0),(0,1),(-1, 0)\}  & \\
\end{array}
$</div>
Et cetera.
 
==Quellen==
<references />
 
[[Kategorie:Logik]]

Version vom 21. April 2019, 09:51 Uhr

Definition

Unter Content-Management (CM) versteht man die Verwaltung und Bearbeitung von digitalen Medien, dem so genannten Content, und den Beziehungen zwischen diesen Medien.

Diese Tätigkeiten erfolgt mit Hilfe von so genannten Content-Management-Systemen.

Bemerkung

Der Begriff "Content Management" kam Ende des zweiten Jahrtausends auf. Er hat sich sehr schnell zum vielgebrauchten und -missbrauchten Modewort entwickelt.

Siehe auch

Wikipedia: Content-Management

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