Mengenlehre: Unterschied zwischen den Versionen
Kowa (Diskussion | Beiträge) |
Kowa (Diskussion | Beiträge) |
||
| Zeile 20: | Zeile 20: | ||
Man unterscheidet zwischen der „'''naiven Mengenlehre'''“ und der „'''axiomatischen Mengenlehre'''“.<ref name="Brockhaus"/> | Man unterscheidet zwischen der „'''naiven Mengenlehre'''“ und der „'''axiomatischen Mengenlehre'''“.<ref name="Brockhaus"/> | ||
==Naive Mengenlehre== | |||
Die naive Mengenlehre, wie sie von [[Georg Cantor]], [[Gottlob Frege]] und Anderen eingeführt wurde, | Die naive Mengenlehre, wie sie von [[Georg Cantor]], [[Gottlob Frege]] und Anderen eingeführt wurde, | ||
erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension von Mengen, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von Mengen zu weiteren Mengen. | erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension von Mengen, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von Mengen zu weiteren Mengen. | ||
Dies führt allerdings zu einer logischen [[Antinomie]], der so genannten [[Russellsche Antinomie|Russellschen Antinomie]]. | Dies führt allerdings zu einer logischen [[Antinomie]], der so genannten [[Russellsche Antinomie|Russellschen Antinomie]]. | ||
==Axiomatische Mengenlehre== | |||
Bei der axiomatischen Mengenlehre, wird versucht, diese Antinomie durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden. | Bei der axiomatischen Mengenlehre, wird versucht, diese Antinomie durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden. | ||
Ob dies allerdings tatsächlich gelungen ist – wovon man heute ausgeht –, kann nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus | Ob dies allerdings tatsächlich gelungen ist – wovon man heute ausgeht –, kann nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus | ||
dem zweiten [[Unvollständigkeitssatz]] von [[Kurt Gödel]]<ref name="Gödel">{{Quelle|Gödel, K. (1931): Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I}}</ref> ziehen kann. | dem zweiten [[Unvollständigkeitssatz]] von [[Kurt Gödel]]<ref name="Gödel">{{Quelle|Gödel, K. (1931): Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I}}</ref> ziehen kann. | ||
===Gängige Axionensystem=== | |||
* [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] | |||
* [[Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]] | |||
* [[Ackermann-Mengenlehre]] | |||
=Geschichte= | =Geschichte= | ||
Version vom 15. Juni 2013, 10:51 Uhr
Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen nur teilweise:
| Korrektheit: 4 (großteils überprüft) |
Umfang: 2 (wichtige Fakten fehlen) |
Quellenangaben: 3 (wichtige Quellen vorhanden) |
Quellenarten: 5 (ausgezeichnet) |
Konformität: 5 (ausgezeichnet) |
Definition (Kowarschick)
Mengenlehre ist die mathematische Theorie von der Komprehension, d.h. die mathematische Theorie von der Zusammenfassung von Objekten zu einer Gesamtheit.
Definition (Brockhaus[1])
Mengenlehre, diejenige mathemat. Theorie, die sich mit den Eigenschaften von und den Beziehungen zw. Mengen beschäftigt.
Anmerkungen
Man unterscheidet zwischen der „naiven Mengenlehre“ und der „axiomatischen Mengenlehre“.[1]
Naive Mengenlehre
Die naive Mengenlehre, wie sie von Georg Cantor, Gottlob Frege und Anderen eingeführt wurde, erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension von Mengen, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von Mengen zu weiteren Mengen. Dies führt allerdings zu einer logischen Antinomie, der so genannten Russellschen Antinomie.
Axiomatische Mengenlehre
Bei der axiomatischen Mengenlehre, wird versucht, diese Antinomie durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden. Ob dies allerdings tatsächlich gelungen ist – wovon man heute ausgeht –, kann nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus dem zweiten Unvollständigkeitssatz von Kurt Gödel[2] ziehen kann.
Gängige Axionensystem
Geschichte
TO BE DONE
Quellen
- ↑ 1,0 1,1 Brockhaus (1991, MAG-MOD): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 14, MAG-MOD; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1114-6; 1991; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ Gödel (1931): Kurt Gödel; Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I; in: Monatshefte für Mathematik und Physik; Band: 38; Nummer: 1; Seite(n): 173-198; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Wien; Web-Link; 1931; Quellengüte: 5 (Artikel)
Siehe auch
- Schmidt (1966): Jürgen Schmidt; Mengenlehre – Grundbegriffe; Reihe: B.I.Hochschultaschenbücher; Band: 1; Nummer: 56; Verlag: Bibliographisches Institut AG; Adresse: Mannheim; ISBN: B0000BUJC6; 1966; Quellengüte: 5 (Buch)
- Felscher (1978): W. Felscher; Naive Mengen und abstrakte Zahlen; Band: 1; Verlag: BI-Wissenschaftsverlag; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-411-01538-1; 1978; Quellengüte: 5 (Buch)
- Ebbinghaus (2003): Heinz-Dieter Ebbinghaus; Einführung in die Mengenlehre; Reihe: Hochschultaschenbuch; Auflage: 4; Verlag: Spektrum Akademischer Verlag; Adresse: Heidelberg, Berlin; ISBN: 3-8274-1411-3; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
- Wußing (2009): Hans Wußing; 6000 Jahre Mathematik – Eine kulturgeschichtliche Zeitreise – Von Euler bis zur Gegenwart; Hrsg.: H.W. Alten, A. Djafari Naini und H. Wesenmüller-Kock; Band: Band 2; Auflage: 1; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Berlin; ISBN: 3642023630; 2009; Quellengüte: 5 (Buch)
- Bedürftig, Murawski (2010): Thomas Bedürftig und Roman Murawski; Philosophie der Mathematik; Verlag: Walter de Gruyter GmbH; Adresse: Berlin; ISBN: 978-3110190939; Web-Link; 2010; Quellengüte: 5 (Buch)
