|
|
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| {{Qualität
| | Dieser Wiki dient dazu, Fachbegriffe, |
| |correctness = 5
| | die in Lehrveranstaltungen und Studienarbeiten an der [[Fachhochschule Augsburg]] verwendet werden, |
| |extent = 5
| | möglichst einheitlich und zitierbar zu definieren. |
| |numberOfReferences = 5
| |
| |qualityOfReferences = 5
| |
| |conformance = 5
| |
| }}
| |
| ==Satz==
| |
| Es seien $a,b \in \mathbb R$ zwei relle Zahlen mit $a < b$
| |
| (d.h. $a$ und $b$ definieren ein endliches Intervall) sowie $c, x \in \mathbb{R}$.
| |
| | |
| Dann gilt:
| |
| | |
| (1) <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />
| |
| (1a) <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />
| |
| (1b) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}</math><br />
| |
| (1c) <math>\displaystyle{x \in\, [a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[}</math><br />
| |
| (1d) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[}</math>
| |
| | |
| (2) <math>\displaystyle{x < a \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0}</math><br />
| |
| (2a) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[}</math><br />
| |
| (2b) <math>\displaystyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]}</math>
| |
| | |
| (3) <math>\displaystyle{b < x \ \leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a}}</math><br />
| |
| (3a) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[}</math><br />
| |
| (3b) <math>\displaystyle{x \in\, [b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[}</math><br />
| |
| | |
| (4) <math>\displaystyle{x < c \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}}</math>
| |
| | |
| (5) <math>\displaystyle{c < x \ \leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}}</math>
| |
| | |
| ==Beweis der ersten Aussage==
| |
| :{|
| |
| |
| |
| | <math>\displaystyle{a \le x \le b}</math>
| |
| | <math>\displaystyle{\quad\quad|\quad -a}</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\displaystyle{\leftrightarrow}</math>
| |
| | <math>\displaystyle{0 \le x-a \le b-a}</math>
| |
| | <math>\displaystyle{\quad\quad|\quad /(b-a)}</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\displaystyle{\leftrightarrow}</math>
| |
| | <math>\displaystyle{0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math>
| |
| | <math>\quad\quad</math>(da <math>\displaystyle{b-a > 0}</math>)
| |
| |}
| |
| | |
| Die restlichen Aussagen beweist man analog.
| |
| | |
| ==Quellen==
| |
| | |
| # Autor des Beweises: [[Wolfgang Kowarschick]]
| |
| #{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
| |
| | |
| [[Kategorie:Mathematischer Satz]]
| |
