Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)
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Satz
Es seien $a,b \in \mathbb R$ zwei relle Zahlen mit $a < b$ (d.h. $a$ und $b$ definieren ein endliches Intervall) sowie $c, x \in \mathbb{R}$.
Dann gilt:
- $ \displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1} $
- $ \displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]} $
- $ \displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]} $
- $ \displaystyle{x \in\, [a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[} $
- $ \displaystyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[} $
- $ \displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]} $
- $ \displaystyle{x < a \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0} $
- $ \displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[} $
- $ \displaystyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]} $
- $ \displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[} $
- $ \displaystyle{b < x \ \leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a}} $
- $ \displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[} $
- $ \displaystyle{x \in\, [b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[} $
- $ \displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[} $
- $ \displaystyle{x < c \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}} $
- $ \displaystyle{c < x \ \leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}} $
Beweis der ersten Aussage
$ \displaystyle{a \le x \le b} $ $ \displaystyle{\quad\quad|\quad -a} $ $ \displaystyle{\leftrightarrow} $ $ \displaystyle{0 \le x-a \le b-a} $ $ \displaystyle{\quad\quad|\quad /(b-a)} $ $ \displaystyle{\leftrightarrow} $ $ \displaystyle{0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1} $ $ \quad\quad $(da $ \displaystyle{b-a > 0} $)
Die restlichen Aussagen beweist man analog.
Quellen
- Autor des Beweises: Wolfgang Kowarschick
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)