Aussage (Logik) - Versionsgeschichte

Kowa: /* Sprachliche Gebilde, Satz */

2019-05-06T15:11:00Z

Sprachliche Gebilde, Satz

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2019, 15:11 Uhr
Zeile 123:		Zeile 123:
	sind nicht immer Aussagen:		sind nicht immer Aussagen:
	# Komm her! (Aufforderung, Befehl)		# Komm her! (Aufforderung, Befehl)
	# a²+b² ([[Term]])e		# a²+b² ([[Term]])
	# Nachts ist es kälter als draußen. (Korrekt gebildeter Satz ohne sinnvollen Inhalt)		# Nachts ist es kälter als draußen. (Korrekt gebildeter Satz ohne sinnvollen Inhalt)
	# Diser Saz enthält drei Fehler. (Korrekt gebildeter Satz, der weder wahr noch falsch ist.)		# Diser Saz enthält drei Fehler. (Korrekt gebildeter Satz, der weder wahr noch falsch ist.)

Kowa: /* Sprachliche Gebilde, Satz */

2019-05-06T15:10:39Z

Sprachliche Gebilde, Satz

Kowa: /* Sprachliche Gebilde, Satz */

2019-05-06T15:08:13Z

Sprachliche Gebilde, Satz

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2019, 15:08 Uhr
Zeile 141:		Zeile 141:
	Das fünfte Gebilde ist nur dann eine Aussage, wenn man weiß, für welche Werte die Variablen a, b und c stehen. Solange diese Werte jedoch nicht festgelegt worden sind		Das fünfte Gebilde ist nur dann eine Aussage, wenn man weiß, für welche Werte die Variablen a, b und c stehen. Solange diese Werte jedoch nicht festgelegt worden sind
	(z.B. durch die Voraussetzung, dass c die Länge der Hypothenuse eines bestimmten rechtwinkligen Dreiecks ist und a und b die Längen der Katheten dieses Dreickes sind), handelt es sich nicht um eine		(z.B. durch die Voraussetzung, dass c die Länge der Hypothenuse eines bestimmten rechtwinkligen Dreiecks ist und a und b die Längen der Katheten dieses Dreickes sind), handelt es sich nicht um eine
	Aussage, sondern nur um eine „[[Aussageform]]“. Erst wenn man die „[[freie Variable\|freien Variablen]]“ a, b und c an spezielle Werte „bindet“, entsteht eine Aussage.		Aussage, sondern nur um eine „[[Aussageform]]“. Erst wenn man die „[[freie Variable\|freien Variablen]]“ a, b und c an spezielle Werte „bindet“ und die Symbole +, =, ² auf die übliche Weise [[Interpretation (Mathematik)\|interpretiert]], entsteht eine Aussage.
	So ist die zugehörige Aussage beispielsweise für		So ist die zugehörige Aussage beispielsweise für
	a=1, b=2 und c=3 falsch, aber für a=3, b=4 und c=5 richtig.		a=1, b=2 und c=3 falsch, aber für a=3, b=4 und c=5 richtig (sofern man als Interpretation die übliche Arithmetik von natrülichen oder auch reellen Zahlen verwendet).

	Es gibt auch Aussagen, deren Wahrheitswert zwar eindeutig, aber unbekannt ist:		Es gibt auch Aussagen, deren Wahrheitswert zwar eindeutig, aber unbekannt ist:
	# Jede gerade Zahl größer als 2 ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar. ([[Goldbachsche Vermutung]])		# Jede gerade Zahl größer als 2 ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar. ([[Goldbachsche Vermutung]])

Kowa: /* Sprachliche Gebilde, Satz */

2019-05-06T15:04:06Z

Sprachliche Gebilde, Satz

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2019, 15:04 Uhr
Zeile 123:		Zeile 123:
	sind nicht immer Aussagen:		sind nicht immer Aussagen:
	# Komm her! (Aufforderung, Befehl)		# Komm her! (Aufforderung, Befehl)
	# a²+b² ([[Term]])		# a²+b² ([[Term]])e
	# Nachts ist es kälter als draußen. (Korrekt gebildeter Satz ohne sinnvollen Inhalt)		# Nachts ist es kälter als draußen. (Korrekt gebildeter Satz ohne sinnvollen Inhalt)
	# Diser Saz enthält drei Fehler. (Korrekt gebildeter Satz, der weder wahr noch falsch ist.)		# Diser Saz enthält drei Fehler. (Korrekt gebildeter Satz, der weder wahr noch falsch ist.)
Zeile 141:		Zeile 141:
	Das fünfte Gebilde ist nur dann eine Aussage, wenn man weiß, für welche Werte die Variablen a, b und c stehen. Solange diese Werte jedoch nicht festgelegt worden sind		Das fünfte Gebilde ist nur dann eine Aussage, wenn man weiß, für welche Werte die Variablen a, b und c stehen. Solange diese Werte jedoch nicht festgelegt worden sind
	(z.B. durch die Voraussetzung, dass c die Länge der Hypothenuse eines bestimmten rechtwinkligen Dreiecks ist und a und b die Längen der Katheten dieses Dreickes sind), handelt es sich nicht um eine		(z.B. durch die Voraussetzung, dass c die Länge der Hypothenuse eines bestimmten rechtwinkligen Dreiecks ist und a und b die Längen der Katheten dieses Dreickes sind), handelt es sich nicht um eine
	Aussage, sondern nur um ~~ein~~ „[[~~Aussagenschema~~]]“. Erst wenn man die „[[freie Variable\|freien Variablen]]“ a, b und c an spezielle Werte „bindet“, entsteht eine Aussage.		Aussage, sondern nur um eine „[[Aussageform]]“. Erst wenn man die „[[freie Variable\|freien Variablen]]“ a, b und c an spezielle Werte „bindet“, entsteht eine Aussage.
	So ist die zugehörige Aussage beispielsweise für		So ist die zugehörige Aussage beispielsweise für
	a=1, b=2 und c=3 falsch, aber für a=3, b=4 und c=5 richtig.		a=1, b=2 und c=3 falsch, aber für a=3, b=4 und c=5 richtig.

Kowa: /* Wahrheitsbegriff */

2019-05-06T15:02:10Z

Wahrheitsbegriff

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2019, 15:02 Uhr
Zeile 99:		Zeile 99:
	(Vgl. Güntzer et al.<ref name="vgl. Güntzer et al." />)		(Vgl. Güntzer et al.<ref name="vgl. Güntzer et al." />)

	Aus den obigen ~~Deiniftionen~~ lassen sich zwei Schlüsse über den Wahrheitsbegriff ziehen:		Aus den obigen Definitionen lassen sich zwei Schlüsse über den Wahrheitsbegriff ziehen:

	# Tertium no datur (ein Drittes ist nicht gegeben): Eine Aussage ist wahr oder falsch, nichts sonst.		# Tertium no datur (ein Drittes ist nicht gegeben): Eine Aussage ist wahr oder falsch, nichts sonst.

Kowa: /* Definition (Mathematische Logik) */

2019-05-06T15:00:24Z

Definition (Mathematische Logik)

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2019, 15:00 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:
	*[[Prädikatenlogik erster Stufe]]		*[[Prädikatenlogik erster Stufe]]
	*[[Klassenlogik]]		*[[Klassenlogik]]
	*[[Prädikatenlogik ~~erster~~ Stufe]]		*[[Prädikatenlogik zweiter Stufe]]
	* etc.		* etc.

	Anstelle von [[Aussage (Logik)\|Aussage]]n ~~spricht~~ man ~~hier allerdings i. Allg. von~~ (~~aussagelogischen~~ bzw. ~~prädikatenlogischen~~) [[Ausdruck\|~~Ausdrücken~~]] oder auch [[Formel]]n, ~~um den formalen Charakter~~ dieser ~~Definitionen zu betonen~~.		Anstelle von [[Aussage (Logik)\|Aussage]]n definiert man zunächst (aussagelogische bzw. prädikatenlogische) [[Ausdruck\|Ausdrücke]] oder auch [[Formel]]n oder [[Aussageform]]en,
			die Konstanten, Variablen, Funktionsbezeichner und evtl. andere Arten von Bezeichnern enthalten können. Diese Ausdrücke werden in einem zweiten Schritt mit Hilfe sogenannten
			[[Interpretation (Mathematik)\|Interpretationen]] und [[Variablenbelegung]]en in Aussagen umgewandelt, denen eine Wahrheitswert zugordnet ist. Allerdings ist nicht sichergestellt,
			dass dieser Wahrheitswert in jedem Fall auch effektiv ermittelt werden kann.

	==Bemerkungen==		==Bemerkungen==

Kowa: /* Anmerkung */

2019-05-06T14:54:16Z

Anmerkung

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2019, 14:54 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:
	der Vermischung von Objekt- und Metaebene umgehen: Wir setzen die Metaebene als bekannt voraus, formalisieren die Objektebene und gewinnen dadurch neue Erkenntnisse für die Metaebene (vgl. [[Metatheorie#L.C3.B6sung_des_Henne-Ei-Problems\|Metatheorie: Lösung des Henne-Ei-Problems]]). Bolzano argumentiert ähnlich:		der Vermischung von Objekt- und Metaebene umgehen: Wir setzen die Metaebene als bekannt voraus, formalisieren die Objektebene und gewinnen dadurch neue Erkenntnisse für die Metaebene (vgl. [[Metatheorie#L.C3.B6sung_des_Henne-Ei-Problems\|Metatheorie: Lösung des Henne-Ei-Problems]]). Bolzano argumentiert ähnlich:

	<em>Um durch den oben gelieferten Beweis überzeugt zu werden, brauchen wir nichts Anderes, als auf die Satze, die ''''in ihm selbst vorkommen''', zu achten,		<em>Um durch den oben gelieferten Beweis überzeugt zu werden, brauchen wir nichts Anderes, als auf die Satze, die '''in ihm selbst vorkommen''', zu achten,
	was wir auch im Zustande eines allseitigen Zweifels vermögen. Blos dadurch, daß wir die Aufmerksamkeit unserer Seele auf diese Sätze richten, fühlen wir uns '''allmählich'''		was wir auch im Zustande eines allseitigen Zweifels vermögen. Blos dadurch, daß wir die Aufmerksamkeit unserer Seele auf diese Sätze richten, fühlen wir uns '''allmählich'''
	[Hervorhebung von W. Kowarschick] überzeugt, und erkennen nun, daß es Wahrheiten an sich gebe.<ref>{{Quelle\|Bolzano (1837)}}, S. 149</ref></em>		[Hervorhebung von W. Kowarschick] überzeugt, und erkennen nun, daß es Wahrheiten an sich gebe.<ref>{{Quelle\|Bolzano (1837)}}, S. 149</ref></em>

Kowa: /* Anmerkung */

2019-05-06T14:53:52Z

Anmerkung

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2019, 14:53 Uhr
Zeile 46:		Zeile 46:
	In § 32 (S. 146 – 147) zeigt Bolzano mit Hilfe vollständiger Induktion, dass es sogar unendlich viele wahre Sätze gibt. Er merkt an, das es seines Wissens nach das erste Mal war, dass auf diese Weise die Existenz unendlich vieler Wahrheiten nachgewiesen wurde. Schließlich thematisiert er in § 33 (S. 147 – 153) wieder das Problem der Vermischung von [[Metaebene\|Objekt- und Metaebene]]:		In § 32 (S. 146 – 147) zeigt Bolzano mit Hilfe vollständiger Induktion, dass es sogar unendlich viele wahre Sätze gibt. Er merkt an, das es seines Wissens nach das erste Mal war, dass auf diese Weise die Existenz unendlich vieler Wahrheiten nachgewiesen wurde. Schließlich thematisiert er in § 33 (S. 147 – 153) wieder das Problem der Vermischung von [[Metaebene\|Objekt- und Metaebene]]:
	Die Aussage, dass es mindestens einen wahren Satz gibt, ist ja selbst ein Satz, dessen Wahrheit mittels eines Beweises gezeigt wird.		Die Aussage, dass es mindestens einen wahren Satz gibt, ist ja selbst ein Satz, dessen Wahrheit mittels eines Beweises gezeigt wird.
	Das heißt, man benötigt einen Wahrheitsbegriff, um eine Eigenschaft des Wahrheitsbegriffes zu beweisen. Er ~~behandlet~~ dieses Problem im Prinzip so, wir heute mit		Das heißt, man benötigt einen Wahrheitsbegriff, um eine Eigenschaft des Wahrheitsbegriffes zu beweisen. Er behandelt dieses Problem im Prinzip so, wir heute mit
	der Vermischung von Objekt- und Metaebene umgehen: Wir setzen die Metaebene als bekannt voraus, formalisieren die Objektebene und gewinnen dadurch neue Erkenntnisse für die Metaebene (vgl. [[Metatheorie#L.C3.B6sung_des_Henne-Ei-Problems\|Metatheorie: Lösung des Henne-Ei-Problems]]). Bolzano argumentiert ähnlich:		der Vermischung von Objekt- und Metaebene umgehen: Wir setzen die Metaebene als bekannt voraus, formalisieren die Objektebene und gewinnen dadurch neue Erkenntnisse für die Metaebene (vgl. [[Metatheorie#L.C3.B6sung_des_Henne-Ei-Problems\|Metatheorie: Lösung des Henne-Ei-Problems]]). Bolzano argumentiert ähnlich:

Kowa: /* Definition (Aristoteles (350 v. Chr.){{Quelle|Aristoteles (350 BC): Analytica priora}}, Biblion A, 1-10, 24a, (16)) */

2019-05-02T06:40:21Z

Definition (Aristoteles (350 v. Chr.){{Quelle|Aristoteles (350 BC): Analytica priora}}, Biblion A, 1-10, 24a, (16))

← Nächstältere Version		Version vom 2. Mai 2019, 06:40 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Definition (Aristoteles (350 v. Chr.)<ref>{{Quelle\|Aristoteles (350 BC): Analytica priora}}, Biblion A, 1-10, 24a, (16)</ref>)==		==Definition (Aristoteles (350 v. Chr.)<ref>{{Quelle\|Aristoteles (350 BC): Analytica priora}}, Biblion A, 1-10, 24a, (16)</ref>)==

	<em>Πρότασις μὲν οὖν ἐστὶ λόγος καταφατικὸς ἢ ἀποφατικός τινος κατά τινος·</em><br />(Prótasis mén oún estí lógos kataphatikós í ~~apofatikós~~ tinos katá tinos.)		<em>Πρότασις μὲν οὖν ἐστὶ λόγος καταφατικὸς ἢ ἀποφατικός τινος κατά τινος·</em><br />(Prótasis mén oún estí lógos kataphatikós í apophatikós tinos katá tinos.)

	<em>Ein Satz ist nun eine Aussage, welche etwas von einem Anderen bejaht oder verneint.</em><ref>{{Quelle\|von Kirchmann, J.H. (1887): Aristoteles' Erste Analytiken oder Lehre vom Schluss}}, 1. Buch, 1. Kapitel, http://www.zeno.org/nid/20009146024</ref>		<em>Ein Satz ist nun eine Aussage, welche etwas von einem Anderen bejaht oder verneint.</em><ref>{{Quelle\|von Kirchmann, J.H. (1887): Aristoteles' Erste Analytiken oder Lehre vom Schluss}}, 1. Buch, 1. Kapitel, http://www.zeno.org/nid/20009146024</ref>

Kowa: /* Definition (Aristoteles (350 v. Chr.){{Quelle|Aristoteles (350 BC): Analytica priora}}, Biblion A, 1-10, 24a, (16)) */

2019-05-02T06:37:24Z

Definition (Aristoteles (350 v. Chr.){{Quelle|Aristoteles (350 BC): Analytica priora}}, Biblion A, 1-10, 24a, (16))

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Zeile 8:		Zeile 8:
	==Definition (Aristoteles (350 v. Chr.)<ref>{{Quelle\|Aristoteles (350 BC): Analytica priora}}, Biblion A, 1-10, 24a, (16)</ref>)==		==Definition (Aristoteles (350 v. Chr.)<ref>{{Quelle\|Aristoteles (350 BC): Analytica priora}}, Biblion A, 1-10, 24a, (16)</ref>)==

	<em>Πρότασις μὲν οὖν ἐστὶ λόγος καταφατικὸς ἢ ἀποφατικός τινος κατά τινος·</em><br />(~~Protasis men oun esti logos kataphatikos ē apophatikos~~ tinos ~~kata~~ tinos.)		<em>Πρότασις μὲν οὖν ἐστὶ λόγος καταφατικὸς ἢ ἀποφατικός τινος κατά τινος·</em><br />(Prótasis mén oún estí lógos kataphatikós í apofatikós tinos katá tinos.)

	<em>Ein Satz ist nun eine Aussage, welche etwas von einem Anderen bejaht oder verneint.</em><ref>{{Quelle\|von Kirchmann, J.H. (1887): Aristoteles' Erste Analytiken oder Lehre vom Schluss}}, 1. Buch, 1. Kapitel, http://www.zeno.org/nid/20009146024</ref>		<em>Ein Satz ist nun eine Aussage, welche etwas von einem Anderen bejaht oder verneint.</em><ref>{{Quelle\|von Kirchmann, J.H. (1887): Aristoteles' Erste Analytiken oder Lehre vom Schluss}}, 1. Buch, 1. Kapitel, http://www.zeno.org/nid/20009146024</ref>

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Zeile 126:		Zeile 126:
	# Nachts ist es kälter als draußen. (Korrekt gebildeter Satz ohne sinnvollen Inhalt)		# Nachts ist es kälter als draußen. (Korrekt gebildeter Satz ohne sinnvollen Inhalt)
	# Diser Saz enthält drei Fehler. (Korrekt gebildeter Satz, der weder wahr noch falsch ist.)		# Diser Saz enthält drei Fehler. (Korrekt gebildeter Satz, der weder wahr noch falsch ist.)
			# Dieser Satz ist falsch. (Korrekt gebildeter Satz, der weder wahr noch falsch ist – siehe oben.)
	# a²+b² = c²		# a²+b² = c²

Zeile 136:		Zeile 137:
	Das vierte Gebilde sieht aus wie eine Aussage, hat auch einen Inhalt, ist aber trotzdem keine Aussage, da der Satz weder wahr noch falsch ist:		Das vierte Gebilde sieht aus wie eine Aussage, hat auch einen Inhalt, ist aber trotzdem keine Aussage, da der Satz weder wahr noch falsch ist:
	Er enthält nur zwei (Rechtschreib)-Fehler, also ist er falsch. Da dies der dritte Fehler ist, ist er doch richtig. Und damit ist er wieder falsch. Etc. pp.		Er enthält nur zwei (Rechtschreib)-Fehler, also ist er falsch. Da dies der dritte Fehler ist, ist er doch richtig. Und damit ist er wieder falsch. Etc. pp.
	Das Problem dieses Satzes ist, dass die Sprachebenen vermischt werden: Er spricht über Sätze und zwar über sich selbst.		Das Problem dieses Satzes ist wie auch beim fünften Satz, dass die Sprachebenen vermischt werden: Er spricht über Sätze und zwar über sich selbst.
	Eine formale Definition des Aussagebegriffs muss daher zwischen [[Objektsprache]], [[Metasprache]], [[Metametasprache]] etc. sauber unterscheiden.		Eine formale Definition des Aussagebegriffs muss daher zwischen [[Objektsprache]], [[Metasprache]], [[Metametasprache]] etc. sauber unterscheiden.

	Das ~~fünfte~~ Gebilde ist nur dann eine Aussage, wenn man weiß, für welche Werte die Variablen a, b und c stehen. Solange diese Werte jedoch nicht festgelegt worden sind		Das sechste Gebilde ist nur dann eine Aussage, wenn man weiß, für welche Werte die Variablen a, b und c stehen. Solange diese Werte jedoch nicht festgelegt worden sind
	(z.B. durch die Voraussetzung, dass c die Länge der Hypothenuse eines bestimmten rechtwinkligen Dreiecks ist und a und b die Längen der Katheten dieses Dreickes sind), handelt es sich nicht um eine		(z.B. durch die Voraussetzung, dass c die Länge der Hypothenuse eines bestimmten rechtwinkligen Dreiecks ist und a und b die Längen der Katheten dieses Dreickes sind), handelt es sich nicht um eine
	Aussage, sondern nur um eine „[[Aussageform]]“. Erst wenn man die „[[freie Variable\|freien Variablen]]“ a, b und c an spezielle Werte „bindet“ und die Symbole +, =, ² auf die übliche Weise [[Interpretation (Mathematik)\|interpretiert]], entsteht eine Aussage.		Aussage, sondern nur um eine „[[Aussageform]]“. Erst wenn man die „[[freie Variable\|freien Variablen]]“ a, b und c an spezielle Werte „bindet“ und die Symbole +, =, ² auf die übliche Weise [[Interpretation (Mathematik)\|interpretiert]], entsteht eine Aussage.
	So ist die zugehörige Aussage beispielsweise für		So ist die zugehörige Aussage beispielsweise für
	a=1, b=2 und c=3 falsch, aber für a=3, b=4 und c=5 richtig (sofern man als Interpretation die übliche Arithmetik von natrülichen oder auch reellen Zahlen verwendet).		a=1, b=2 und c=3 falsch, aber für a=3, b=4 und c=5 richtig (sofern man als Interpretation die übliche Arithmetik von natrülichen oder auch reellen Zahlen verwendet).

	Es gibt auch Aussagen, deren Wahrheitswert zwar eindeutig, aber unbekannt ist:		Es gibt auch Aussagen, deren Wahrheitswert zwar eindeutig, aber unbekannt ist:
	# Jede gerade Zahl größer als 2 ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar. ([[Goldbachsche Vermutung]])		# Jede gerade Zahl größer als 2 ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar. ([[Goldbachsche Vermutung]])