Axiom:Paaraxiom - Versionsgeschichte

Kowa am 12. August 2019 um 17:49 Uhr

2019-08-12T17:49:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. August 2019, 17:49 Uhr
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	==Alternativ-Definition==		==Alternativ-Definition==

	Unter der Voraussetzung der [[~~Leipnizsche~~ Ersetzbarkeit\|Leibnizschen Ersetzbarkeit]], d.h. unter der Voraussetzung, dass ein Term $t_1$		Unter der Voraussetzung der [[Leibnizsche Ersetzbarkeit\|Leibnizschen Ersetzbarkeit]], d.h. unter der Voraussetzung, dass ein Term $t_1$
	stets durch einen zweiten Term $t_2$ ersetzt werden kann, sofern beide Terme gleich sind, d.h. sofern $t_1 = t_2$ gilt,		stets durch einen zweiten Term $t_2$ ersetzt werden kann, sofern beide Terme gleich sind, d.h. sofern $t_1 = t_2$ gilt,
	kann man das Paaraxiom auch folgendermaßen formulieren.		kann man das Paaraxiom auch folgendermaßen formulieren.

Kowa: /* Geschichte */

2017-03-08T16:57:49Z

Geschichte

← Nächstältere Version		Version vom 8. März 2017, 16:57 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:

	==Geschichte==		==Geschichte==
			{{TBD\|William Rowan Hamilton}}

	Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle\|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle\|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>		Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle\|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle\|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
	Allerdings hat [[Gottlob Frege]] bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.<ref name="Frege (1893)">{{Quelle\|Frege (1893)}}, §149, §155</ref>		Allerdings hat [[Gottlob Frege]] bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.<ref name="Frege (1893)">{{Quelle\|Frege (1893)}}, §149, §155</ref>

Kowa am 8. März 2017 um 16:57 Uhr

2017-03-08T16:57:12Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Qualität		{{Qualität
	\|correctness = 3		\|correctness = 2
	\|extent = 4		\|extent = 3
	\|numberOfReferences = 5		\|numberOfReferences = 5
	\|qualityOfReferences = 5		\|qualityOfReferences = 5
	\|conformance = 5		\|conformance = 5
	}}		}}
			{{TBD\|Sir William Rowan Hamilton einführen. Das Paaraxiom für ungeordnete Paar aufführen.}}
	==Definitionen==		==Definitionen==
	===Voraussetzung===		===Voraussetzung===

Kowa am 8. März 2017 um 16:56 Uhr

2017-03-08T16:56:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. März 2017, 16:56 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Qualität		{{Qualität
	\|correctness = 4		\|correctness = 3
	\|extent = 4		\|extent = 4
	\|numberOfReferences = 5		\|numberOfReferences = 5
Zeile 9:		Zeile 9:
	===Voraussetzung===		===Voraussetzung===
	Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger [[Operator]], der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet.		Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger [[Operator]], der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet.
	Falls dieser Operator das [[Axiom:Paaraxiom\|Paaraxiom]] erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ [[geordnetes Paar\|geordnete Paare]].		Falls dieser Operator das [[Axiom:Paaraxiom\|Paaraxiom]] (genauer: das Gleichheitsaxiom für geordnete aare) erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ [[geordnetes Paar\|geordnete Paare]].

	===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache\|Metametasprache]]===		===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache\|Metametasprache]]===

Kowa am 7. Juni 2015 um 17:13 Uhr

2015-06-07T17:13:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2015, 17:13 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Qualität		{{Qualität
	\|correctness = 4		\|correctness = 4
	\|extent = 3		\|extent = 4
	\|numberOfReferences = 5		\|numberOfReferences = 5
	\|qualityOfReferences = 5		\|qualityOfReferences = 5

Kowa: /* Eigenschaften von geordneten Paaren */

2015-04-13T11:28:09Z

Eigenschaften von geordneten Paaren

← Nächstältere Version		Version vom 13. April 2015, 11:28 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle\|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle\|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>		Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle\|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle\|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
	Allerdings hat [[Gottlob Frege]] bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.<ref name="Frege (1893)">{{Quelle\|Frege (1893)}}, §149, §155</ref>		Allerdings hat [[Gottlob Frege]] bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.<ref name="Frege (1893)">{{Quelle\|Frege (1893)}}, §149, §155</ref>

	~~==Eigenschaften von geordneten Paaren==~~
	~~Bei [[Paarmenge]]n spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:~~
	~~<div class="formula">$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$</div>~~

	~~Im Gegensatz dazu sind [[geordnetes Paar\|geordnete Paare]] – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:~~
	~~<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b$</div>~~

	==Quellen==		==Quellen==

Kowa: /* Definitionen */

2015-04-13T11:27:10Z

Definitionen

@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 ===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Objektsprache dieses Wikis]]===
 <div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>
 [[Datei:Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsaetze, S248.png|mini|300px|Freges Paar-Begriff erfüllt das [[Paaraxiom]], Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248]]
 ==Geschichte==
 Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>

Kowa: /* Paaraxiom: Definition in Metasprache dieses Wikis| */

2015-04-13T10:11:03Z

Paaraxiom: Definition in Metasprache dieses Wikis|

← Nächstältere Version		Version vom 13. April 2015, 10:11 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.		Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.

	===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik\|Metasprache dieses Wikis\|]]===		===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik\|Metasprache dieses Wikis]]===
	<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>		<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>

Kowa: /* Geschichte */

2015-04-13T10:10:05Z

Geschichte

← Nächstältere Version		Version vom 13. April 2015, 10:10 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>		<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>

			[[Datei:Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsaetze, S248.png\|mini\|300px\|Freges Paar-Begriff erfüllt das [[Paaraxiom]], Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248]]
	==Geschichte==		==Geschichte==
	Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle\|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle\|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>		Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle\|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle\|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
			Allerdings hat [[Gottlob Frege]] bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.<ref name="Frege (1893)">{{Quelle\|Frege (1893)}}, §149, §155</ref>

	==Eigenschaften von geordneten Paaren==		==Eigenschaften von geordneten Paaren==

Kowa: /* Paaraxiom: Definition in Metametasprache */

2015-03-23T09:39:01Z

Paaraxiom: Definition in Metametasprache

← Nächstältere Version		Version vom 23. März 2015, 09:39 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:

	===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache\|Metametasprache]]===		===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache\|Metametasprache]]===
	Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.		Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.

	===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik\|Metasprache dieses Wikis\|]]===		===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik\|Metasprache dieses Wikis\|]]===
	<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>		<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>