Beta-Verteilung - Versionsgeschichte

Kowa am 23. April 2018 um 13:20 Uhr

2018-04-23T13:20:38Z

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	<math> F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)		<math> F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)
	= F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)		= F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
	= F_{\~~BetaV~~(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)		= F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
	</math></div>		</math></div>

Kowa am 23. April 2018 um 13:20 Uhr

2018-04-23T13:20:15Z

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Zeile 8:		Zeile 8:
	==Definition==		==Definition==

	Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] <math>X = BV(\alpha,\beta,a,b)\;</math> heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch		Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] <math>X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;</math> heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
	die [[Dichtefunktion]]		die [[Dichtefunktion]]

	<div class="formula">		<div class="formula">
	<math>f_X(x) = f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x) :=		<math>f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) :=
	\begin{cases}		\begin{cases}
	\frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\		\frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\
	0 & \mbox{sonst }		0 & \mbox{sonst }
	\end{cases}		\end{cases}
	</math>		</math>
	</div>		</div>
	beschrieben werden kann. <math>B(\alpha,\beta)</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].		beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].

	<math>\alpha,\,\beta,\,a</math> und <math>b</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.		<math>\alpha,\,\beta,\,a</math> und <math>b</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
Zeile 37:		Zeile 37:
	f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =		f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =
	\begin{cases}		\begin{cases}
	\frac{{(x-a)}^{\alpha -1}\cdot {(b-x)}^{\beta-1}}{{B(\alpha,\beta)}\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\		\frac{{(x-a)}^{\alpha -1}\cdot {(b-x)}^{\beta-1}}{{\Beta(\alpha,\beta)}\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\
	0 & \mbox{sonst }		0 & \mbox{sonst }
	\end{cases}		\end{cases}
Zeile 66:		Zeile 66:
	==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==		==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==

	In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>f_{BV(\alpha,\beta)}</math> definiert.		In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}</math> definiert.
	Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?		Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zeile 72:		Zeile 72:
	auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung\|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:		auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung\|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:

	<div class="formula"><math>f_{BV(\alpha,\beta)}(x) = f_{BV(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!</math></div>		<div class="formula"><math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!</math></div>

	Umgekehrt können alle		Umgekehrt können alle
Zeile 79:		Zeile 79:

	<div class="formula">		<div class="formula">
	<math> f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x)		<math> f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)
	= \frac{1}{b-a}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)		= \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
	= \frac{1}{d}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)		= \frac{1}{d}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
	</math></div>		</math></div>

Zeile 87:		Zeile 87:

	<div class="formula">		<div class="formula">
	<math> F_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x)		<math> F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)
	= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)		= F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
	= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)		= F_{\BetaV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
	</math></div>		</math></div>

Kowa am 24. November 2017 um 13:38 Uhr

2017-11-24T13:38:47Z

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Zeile 8:		Zeile 8:
	==Definition==		==Definition==

	Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] $X = BV(\alpha,\beta,a,b)\;$ heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch		Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] <math>X = BV(\alpha,\beta,a,b)\;</math> heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
	die [[Dichtefunktion]]		die [[Dichtefunktion]]

Zeile 19:		Zeile 19:
	</math>		</math>
	</div>		</div>
	beschrieben werden kann. $B(\alpha,\beta)$ ist dabei die [[Beta-Funktion]].		beschrieben werden kann. <math>B(\alpha,\beta)</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].

	$\alpha,\,\beta,\,a$ und $b$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.		<math>\alpha,\,\beta,\,a</math> und <math>b</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

	==Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße==		==Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße==
Zeile 31:		Zeile 31:
	cdf_image =\|		cdf_image =\|

	parameters =$\alpha \in ]0,\infty[$<br>$\beta \in ]0,\infty[$<br>$a \in ]-\infty,\infty[$<br>$b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a$<br><br>$d := b-a > 0$\|		parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math><br><math>a \in ]-\infty,\infty[</math><br><math>b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a</math><br><br><math>d := b-a > 0</math>\|
	annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung (standardisiert)\|standardisierten<br/> Beta-Verteilung]] )\|		annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung (standardisiert)\|standardisierten<br/> Beta-Verteilung]] )\|

Zeile 42:		Zeile 42:
	</math>\|		</math>\|

	continuity = $f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$\|		continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[</math>\|

	support = $f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ $\|		support = <math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ </math>\|

	cdf =$F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t$ ist nicht elementar darstellbar\|		cdf =<math>F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t</math> ist nicht elementar darstellbar\|

	mode = $c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}$<br>		mode = <math>c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}</math><br>
	$\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1$\|		<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1</math>\|

	mean = $\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}$\|		mean = <math>\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}</math>\|

	quartile =\|		quartile =\|
Zeile 57:		Zeile 57:
	median =\|		median =\|

	variance =$\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$\|		variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>\|

	sigma =$\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)} \sqrt{{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}}$\|		sigma =<math>\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)} \sqrt{{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}}</math>\|


Zeile 66:		Zeile 66:
	==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==		==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==

	In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion $f_{BV(\alpha,\beta)}$ definiert.		In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>f_{BV(\alpha,\beta)}</math> definiert.
	Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?		Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Kowa am 22. November 2017 um 17:38 Uhr

2017-11-22T17:38:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. November 2017, 17:38 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:
	annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung (standardisiert)\|standardisierten<br/> Beta-Verteilung]] )\|		annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung (standardisiert)\|standardisierten<br/> Beta-Verteilung]] )\|

	pdf =$		pdf =<math>
	f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =		f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =
	\begin{cases}		\begin{cases}
Zeile 40:		Zeile 40:
	0 & \mbox{sonst }		0 & \mbox{sonst }
	\end{cases}		\end{cases}
	$\|		</math>\|

	continuity = $f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$\|		continuity = $f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$\|
Zeile 72:		Zeile 72:
	auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung\|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:		auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung\|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:

	<div class="formula"><math>f_{BV(\alpha,\beta)}(x) = f_{BV(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!<math></div>		<div class="formula"><math>f_{BV(\alpha,\beta)}(x) = f_{BV(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!</math></div>

	Umgekehrt können alle		Umgekehrt können alle
Zeile 82:		Zeile 82:
	= \frac{1}{b-a}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)		= \frac{1}{b-a}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
	= \frac{1}{d}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)		= \frac{1}{d}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
	<math></div>		</math></div>

	Und damit gilt auch die Beziehung:		Und damit gilt auch die Beziehung:
Zeile 90:		Zeile 90:
	= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)		= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
	= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)		= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
	<math></div>		</math></div>

	([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)\|Beweis der zweiten Aussage]])		([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)\|Beweis der zweiten Aussage]])

Kowa am 22. November 2017 um 17:15 Uhr

2017-11-22T17:15:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. November 2017, 17:15 Uhr
Zeile 72:		Zeile 72:
	auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung\|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:		auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung\|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:

	<div class="formula">$f_{BV(\alpha,\beta)}(x) = f_{BV(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!$</div>		<div class="formula"><math>f_{BV(\alpha,\beta)}(x) = f_{BV(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!<math></div>

	Umgekehrt können alle		Umgekehrt können alle
Zeile 79:		Zeile 79:

	<div class="formula">		<div class="formula">
	$ f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x)		<math> f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x)
	= \frac{1}{b-a}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)		= \frac{1}{b-a}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
	= \frac{1}{d}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)		= \frac{1}{d}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
	$</div>		<math></div>

	Und damit gilt auch die Beziehung:		Und damit gilt auch die Beziehung:

	<div class="formula">		<div class="formula">
	$ F_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x)		<math> F_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x)
	= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)		= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
	= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)		= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
	$</div>		<math></div>

	([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)\|Beweis der zweiten Aussage]])		([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)\|Beweis der zweiten Aussage]])

Kowa am 22. November 2017 um 17:11 Uhr

2017-11-22T17:11:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. November 2017, 17:11 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:

	<div class="formula">		<div class="formula">
	$f_X(x) = f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x) :=		<math>f_X(x) = f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x) :=
	\begin{cases}		\begin{cases}
	\frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\		\frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\
	0 & \mbox{sonst }		0 & \mbox{sonst }
	\end{cases}		\end{cases}
	$		</math>
	</div>		</div>
	beschrieben werden kann. $B(\alpha,\beta)$ ist dabei die [[Beta-Funktion]].		beschrieben werden kann. $B(\alpha,\beta)$ ist dabei die [[Beta-Funktion]].

Kowa am 6. September 2017 um 15:40 Uhr

2017-09-06T15:40:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2017, 15:40 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Definition==		==Definition==

	Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] $X = ~~\Beta V~~(\alpha,\beta,a,b)\;$ heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch		Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] $X = BV(\alpha,\beta,a,b)\;$ heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
	die [[Dichtefunktion]]		die [[Dichtefunktion]]

	<div class="formula">		<div class="formula">
	$f_X(x) = f_{~~\Beta V~~(\alpha,\beta,a,b)}(x) :=		$f_X(x) = f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x) :=
	\begin{cases}		\begin{cases}
	\frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{~~\Beta~~(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\		\frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\
	0 & \mbox{sonst }		0 & \mbox{sonst }
	\end{cases}		\end{cases}
	$		$
	</div>		</div>
	beschrieben werden kann. $~~\Beta~~(\alpha,\beta)$ ist dabei die [[Beta-Funktion]].		beschrieben werden kann. $B(\alpha,\beta)$ ist dabei die [[Beta-Funktion]].

	$\alpha,\,\beta,\,a$ und $b$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.		$\alpha,\,\beta,\,a$ und $b$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
Zeile 37:		Zeile 37:
	f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =		f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =
	\begin{cases}		\begin{cases}
	\frac{{(x-a)}^{\alpha -1}\cdot {(b-x)}^{\beta-1}}{{~~\Beta~~(\alpha,\beta)}\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\		\frac{{(x-a)}^{\alpha -1}\cdot {(b-x)}^{\beta-1}}{{B(\alpha,\beta)}\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\
	0 & \mbox{sonst }		0 & \mbox{sonst }
	\end{cases}		\end{cases}
Zeile 66:		Zeile 66:
	==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==		==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==

	In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion $f_{~~\Beta V~~(\alpha,\beta)}$ definiert.		In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion $f_{BV(\alpha,\beta)}$ definiert.
	Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?		Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zeile 72:		Zeile 72:
	auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung\|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:		auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung\|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:

	<div class="formula">$f_{~~\Beta V~~(\alpha,\beta)}(x) = f_{~~\Beta V~~(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!$</div>		<div class="formula">$f_{BV(\alpha,\beta)}(x) = f_{BV(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!$</div>

	Umgekehrt können alle		Umgekehrt können alle
Zeile 79:		Zeile 79:

	<div class="formula">		<div class="formula">
	$ f_{~~\Beta V~~(\alpha,\beta,a,b)}(x)		$ f_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x)
	= \frac{1}{b-a}\cdot f_{~~\Beta V~~(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)		= \frac{1}{b-a}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
	= \frac{1}{d}\cdot f_{~~\Beta V~~(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)		= \frac{1}{d}\cdot f_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
	$</div>		$</div>

Zeile 87:		Zeile 87:

	<div class="formula">		<div class="formula">
	$ F_{~~\Beta V~~(\alpha,\beta,a,b)}(x)		$ F_{BV(\alpha,\beta,a,b)}(x)
	= F_{~~\Beta V~~(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)		= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
	= F_{~~\Beta V~~(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)		= F_{BV(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)
	$</div>		$</div>

Kowa: /* Definition */

2015-07-27T11:20:45Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2015, 11:20 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Definition==		==Definition==

	Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] $X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;~~$ mit $a < b~~$ heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch		Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] $X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;$ heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
	die [[Dichtefunktion]]		die [[Dichtefunktion]]

Kowa am 27. Juli 2015 um 11:20 Uhr

2015-07-27T11:20:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2015, 11:20 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	==Definition==		==Definition==

	Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] ~~<math>~~X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;<~~/math>~~ heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch		Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] $X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;$ mit $a < b$ heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
	die [[Dichtefunktion]]		die [[Dichtefunktion]]

Zeile 19:		Zeile 19:
	$		$
	</div>		</div>
	beschrieben werden kann. ~~<math>~~\Beta(\alpha,\beta)~~\!</math>~~ ist dabei die [[Beta-Funktion]].		beschrieben werden kann. $\Beta(\alpha,\beta)$ ist dabei die [[Beta-Funktion]].

	~~<math>~~\alpha,\,\beta,\,a~~</math>~~ und ~~<math>~~b~~\,</math>~~ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.		$\alpha,\,\beta,\,a$ und $b$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

	==Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße==		==Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße==
Zeile 31:		Zeile 31:
	cdf_image =\|		cdf_image =\|

	parameters =~~<math>~~\alpha \in ]0,\infty[~~</math>~~<br>~~<math>~~\beta \in ]0,\infty[~~</math>~~<br>~~<math>~~a \in ]-\infty,\infty[~~</math>~~<br>~~<math>~~b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a~~</math>~~<br><br>~~<math>~~d := b-a > 0~~\!</math>~~\|		parameters =$\alpha \in ]0,\infty[$<br>$\beta \in ]0,\infty[$<br>$a \in ]-\infty,\infty[$<br>$b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a$<br><br>$d := b-a > 0$\|
	annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung (standardisiert)\|standardisierten<br/> Beta-Verteilung]] )\|		annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung (standardisiert)\|standardisierten<br/> Beta-Verteilung]] )\|

	pdf =~~<math>~~		pdf =$
	f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =		f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) =
	\begin{cases}		\begin{cases}
Zeile 40:		Zeile 40:
	0 & \mbox{sonst }		0 & \mbox{sonst }
	\end{cases}		\end{cases}
	~~</math>~~\|		$\|

	continuity = ~~<math>~~f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[~~\!</math>~~\|		continuity = $f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$\|

	support = ~~<math>~~f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ ~~\!</math>~~\|		support = $f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ $\|

	cdf =~~<math>~~F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t~~</math>~~ ist nicht elementar darstellbar\|		cdf =$F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t$ ist nicht elementar darstellbar\|

	mode = ~~<math>~~c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}~~</math>~~<br>		mode = $c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}$<br>
	~~<math>~~\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1~~\!</math>~~\|		$\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1$\|

	mean = ~~<math>~~\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}~~</math>~~\|		mean = $\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}$\|

	quartile =\|		quartile =\|
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	median =\|		median =\|

	variance =~~<math>~~\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}~~</math>~~\|		variance =$\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$\|

	sigma =~~<math>~~\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)} \sqrt{{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}}~~</math>~~\|		sigma =$\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)} \sqrt{{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}}$\|


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	==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==		==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==

	In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion ~~<math>~~f_{\Beta V(\alpha,\beta)}~~\!</math>~~ definiert.		In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion $f_{\Beta V(\alpha,\beta)}$ definiert.
	Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?		Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Kowa am 22. September 2014 um 09:25 Uhr

2014-09-22T09:25:40Z

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	\|conformance = 4		\|conformance = 4
	}}		}}
	=Definition=		==Definition==

	Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] <math>X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;</math> heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch		Eine [[Stetige Zufallsgröße\|stetige Zufallsgröße]] <math>X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;</math> heißt '''beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
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	<math>\alpha,\,\beta,\,a</math> und <math>b\,</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.		<math>\alpha,\,\beta,\,a</math> und <math>b\,</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

	=Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße=		==Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße==

	{{Wahrscheinlichkeitsverteilung \|		{{Wahrscheinlichkeitsverteilung \|
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	}}		}}

	=Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung=		==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==

	In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\!</math> definiert.		In [[Beta-Verteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\!</math> definiert.
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	([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)\|Beweis der zweiten Aussage]])		([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)\|Beweis der zweiten Aussage]])

	=Quellen=		==Quellen==
	#{{Quelle\|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}		#{{Quelle\|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
	#{{Quelle\|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}		#{{Quelle\|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
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	#[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Beta-Verteilung Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung]		#[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Beta-Verteilung Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung]

	=Siehe auch=		==Siehe auch==
	* [http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/beta.asp Brighton Webs Ltd.: Beta Distribution]		# [http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/beta.asp Brighton Webs Ltd.: Beta Distribution]
	* {{Vgl\|Dreiecksverteilung}}		# {{Vgl\|Dreiecksverteilung}}

	[[Kategorie:Mathematische Definition]]		[[Kategorie:Mathematische Definition]]