Geordnetes Paar - Versionsgeschichte

Kowa: /* McCarthy (1960){{Quelle|McCarthy (1960)}} */

2020-09-22T13:07:33Z

McCarthy (1960){{Quelle|McCarthy (1960)}}

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	und <code>cdr</code>.		und <code>cdr</code>.

	[[Liste]]n werden in LISP als Abkürzung für <code>cons</code>-Ketten definiert (siehe [[Tupel#~~Ursprung_und_Varianten_der_Vektornotation~~\|Tupel]]).		[[Tupel\|Liste]]n werden in LISP als Abkürzung für <code>cons</code>-Ketten definiert (siehe [[Tupel#Definition_.E2.80.9EList.E2.80.9C_.28McCarthy_.281960.29.5B6.5D.29\|Tupel, Abschnitt „Definition ‚List‘ (McCarthy (1960))“]]).

	==Paare und Tupel in der Informatik==		==Paare und Tupel in der Informatik==

Kowa: /* Geschichte des Paarbegriffs */

2020-05-14T10:40:14Z

Geschichte des Paarbegriffs

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2020, 10:40 Uhr
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	==Geschichte des Paarbegriffs==		==Geschichte des Paarbegriffs==
	{{TBD: Paaraxiom von Hamilton, [[Hamilton (1837)]], S. 300 und nachfolgende Geschichte}}		{{TBD\|Paaraxiom von Hamilton, [[Hamilton (1837)]], S. 300 und nachfolgende Geschichte}}

	[[Datei:Peirce 1870 S 359.png\|mini\|300px\|[[Peirce (1870)]], S. 359]]		[[Datei:Peirce 1870 S 359.png\|mini\|300px\|[[Peirce (1870)]], S. 359]]

Kowa: /* Geschichte des Paarbegriffs */

2020-05-14T10:39:57Z

Geschichte des Paarbegriffs

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2020, 10:39 Uhr
Zeile 243:		Zeile 243:

	==Geschichte des Paarbegriffs==		==Geschichte des Paarbegriffs==
			{{TBD: Paaraxiom von Hamilton, [[Hamilton (1837)]], S. 300 und nachfolgende Geschichte}}

	[[Datei:Peirce 1870 S 359.png\|mini\|300px\|[[Peirce (1870)]], S. 359]]		[[Datei:Peirce 1870 S 359.png\|mini\|300px\|[[Peirce (1870)]], S. 359]]
	Der Mathematiker und Philosoph [[Charles Sanders Peirce]]		Der Mathematiker und Philosoph [[Charles Sanders Peirce]]

Kowa: /* Definition (Kowarschick (2014)) */

2020-05-14T10:25:51Z

Definition (Kowarschick (2014))

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	=== Definition ([[Wolfgang Kowarschick\|Kowarschick]] (2014))===		=== Definition ([[Wolfgang Kowarschick\|Kowarschick]] (2014))===

	Operatoren <math>\pi_1</math> und <math>\pi_2</math> die das erste bzw. das zweite Element eines jeden Paars		Operatoren <math>\pi_1</math> und <math>\pi_2</math>, die das erste bzw. das zweite Element eines jeden Paars
	(des zugehörigen Universums) extrahieren, heißen '''Projektionsoperatoren''':		(des zugehörigen Universums) extrahieren, heißen '''Projektionsoperatoren''':
	<div class="formula"><math>\bigwedge a,b: \pi_1([a,b]) = a\quad</math> (das erste Element des jeweiligen Paars)</div>		<div class="formula"><math>\bigwedge a,b: \pi_1([a,b]) = a\quad</math> (das erste Element des jeweiligen Paars)</div>

Kowa am 14. Mai 2020 um 10:24 Uhr

2020-05-14T10:24:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2020, 10:24 Uhr
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	dass sie notwendig oder zumindest wünschenswert wäre.<ref name="Dipert"/>		dass sie notwendig oder zumindest wünschenswert wäre.<ref name="Dipert"/>

	Glubrecht, Oberschelp und Todt stellen die noch allgemeinere Forderung auf, dass die Definition des Paarbegriffs „adäquat“ sein müsse ([[Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)\|Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983), S. 203]])<ref name="Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)"/>. Darunter verstehen sie, dass nicht nur das Paaraxiom erfüllt sein muss, sondern dass, falls Paare klassentheoretisch definiert werden, Paare von „ realen Objekten“ stets auch selbst „reale Objekte“ sind. Die Unterscheidung zwischen [[reales Objekt\|realen]] und [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] wurde zur Vermeidung von Antinomien wie der [[Russellsche Antinomie\|~~Russelschen~~ Antinomie]] eingeführt. Sie geht auf Quine (1963) zurück.<ref name="Quine (1993)">{{Quelle\|Quine (1963)}}</ref> Da reale Objekte gemäß ihrer Definition Elemente von anderen Objekten sein können, hat die Forderung von Glubrecht, Oberschelp und Todt zur Folge, dass Paare von realen Objekten ebenfalls Elemente anderer Objekte sein können. Dies ist für klassentheoretische Systeme sicherlich eine zumindest „wünschenswerte“ Zusatzforderung. Ob dagegen Paare von [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] überhaupt definiert werden können und falls „ja“, ob diese dann auch Elemente von anderen Objekten sein können, steht zunächst noch auf einem ganz anderen Blatt.		Glubrecht, Oberschelp und Todt stellen die noch allgemeinere Forderung auf, dass die Definition des Paarbegriffs „adäquat“ sein müsse ([[Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)\|Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983), S. 203]])<ref name="Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)"/>. Darunter verstehen sie, dass nicht nur das Paaraxiom erfüllt sein muss, sondern dass, falls Paare klassentheoretisch definiert werden, Paare von „ realen Objekten“ stets auch selbst „reale Objekte“ sind. Die Unterscheidung zwischen [[reales Objekt\|realen]] und [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] wurde zur Vermeidung von Antinomien wie der [[Russellsche Antinomie\|Russellschen Antinomie]] eingeführt. Sie geht auf Quine (1963) zurück.<ref name="Quine (1993)">{{Quelle\|Quine (1963)}}</ref>

			Da reale Objekte gemäß ihrer Definition Elemente von anderen Objekten sein können, hat die Forderung von Glubrecht, Oberschelp und Todt zur Folge, dass Paare von realen Objekten ebenfalls Elemente anderer Objekte sein können. Dies ist für klassentheoretische Systeme sicherlich eine zumindest „wünschenswerte“ Zusatzforderung. Ob dagegen Paare von [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] überhaupt definiert werden können und falls „ja“, ob diese dann auch Elemente von anderen Objekten sein können, steht zunächst noch auf einem ganz anderen Blatt.

	Schmidt hatte bereits 1966 gefordert, dass Paare nicht nur für [[Menge]]n (reale Objekte), sondern auch für [[Unmengen]] (echte Klassen, virtuelle Objekte) definiert sein müssen.<ref name="Schmidt (1966)"/>		Schmidt hatte bereits 1966 gefordert, dass Paare nicht nur für [[Menge]]n (reale Objekte), sondern auch für [[Unmengen]] (echte Klassen, virtuelle Objekte) definiert sein müssen.<ref name="Schmidt (1966)"/>

Kowa: /* Die wichtigsten Definitionen von Mengenpaaren */

2019-08-14T17:47:17Z

Die wichtigsten Definitionen von Mengenpaaren

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	Im Folgenden werden wegweisende Definitionen von '''Mengenpaaren''' ({{dh}} [[Unmenge]]n sind als Paarelemente nicht erlaubt) aufgeführt:		Im Folgenden werden wegweisende Definitionen von '''Mengenpaaren''' ({{dh}} [[Unmenge]]n sind als Paarelemente nicht erlaubt) aufgeführt:
	die Definitionen von ~~Frege,~~ Hausdorff, Wiener, Kuratowski und Quine. Es werden		die Definitionen von Hausdorff, Wiener, Kuratowski und Quine. Es werden
	jeweils auch die beiden Projektionsoperatoren angegeben. Gemäß Satz 6.2		jeweils auch die beiden Projektionsoperatoren angegeben. Gemäß Satz 6.2
	([[Satz:Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare folgt das Paaraxiom\|„Aus der Existenz der Projektionsoperatoren folgt das Paaraxiom“]])		([[Satz:Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare folgt das Paaraxiom\|„Aus der Existenz der Projektionsoperatoren folgt das Paaraxiom“]])

Kowa am 14. August 2019 um 17:46 Uhr

2019-08-14T17:46:03Z

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	Glubrecht, Oberschelp und Todt stellen die noch allgemeinere Forderung auf, dass die Definition des Paarbegriffs „adäquat“ sein müsse ([[Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)\|Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983), S. 203]])<ref name="Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)"/>. Darunter verstehen sie, dass nicht nur das Paaraxiom erfüllt sein muss, sondern dass, falls Paare klassentheoretisch definiert werden, Paare von „ realen Objekten“ stets auch selbst „reale Objekte“ sind. Die Unterscheidung zwischen [[reales Objekt\|realen]] und [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] wurde zur Vermeidung von Antinomien wie der [[Russellsche Antinomie\|Russelschen Antinomie]] eingeführt. Sie geht auf Quine (1963) zurück.<ref name="Quine (1993)">{{Quelle\|Quine (1963)}}</ref> Da reale Objekte gemäß ihrer Definition Elemente von anderen Objekten sein können, hat die Forderung von Glubrecht, Oberschelp und Todt zur Folge, dass Paare von realen Objekten ebenfalls Elemente anderer Objekte sein können. Dies ist für klassentheoretische Systeme sicherlich eine zumindest „wünschenswerte“ Zusatzforderung. Ob dagegen Paare von [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] überhaupt definiert werden können und falls „ja“, ob diese dann auch Elemente von anderen Objekten sein können, steht zunächst noch auf einem ganz anderen Blatt.		Glubrecht, Oberschelp und Todt stellen die noch allgemeinere Forderung auf, dass die Definition des Paarbegriffs „adäquat“ sein müsse ([[Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)\|Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983), S. 203]])<ref name="Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)"/>. Darunter verstehen sie, dass nicht nur das Paaraxiom erfüllt sein muss, sondern dass, falls Paare klassentheoretisch definiert werden, Paare von „ realen Objekten“ stets auch selbst „reale Objekte“ sind. Die Unterscheidung zwischen [[reales Objekt\|realen]] und [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] wurde zur Vermeidung von Antinomien wie der [[Russellsche Antinomie\|Russelschen Antinomie]] eingeführt. Sie geht auf Quine (1963) zurück.<ref name="Quine (1993)">{{Quelle\|Quine (1963)}}</ref> Da reale Objekte gemäß ihrer Definition Elemente von anderen Objekten sein können, hat die Forderung von Glubrecht, Oberschelp und Todt zur Folge, dass Paare von realen Objekten ebenfalls Elemente anderer Objekte sein können. Dies ist für klassentheoretische Systeme sicherlich eine zumindest „wünschenswerte“ Zusatzforderung. Ob dagegen Paare von [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] überhaupt definiert werden können und falls „ja“, ob diese dann auch Elemente von anderen Objekten sein können, steht zunächst noch auf einem ganz anderen Blatt.

	Schmidt hatte bereits 1966 gefordert, dass Paare nicht nur für [[Menge]]n (reale Objekte), sondern auch für [[Unmengen]] (echte Klassen, virtuelle Objekte) definiert sein müssen.<ref name="Schmidt (~~2966~~)"/>		Schmidt hatte bereits 1966 gefordert, dass Paare nicht nur für [[Menge]]n (reale Objekte), sondern auch für [[Unmengen]] (echte Klassen, virtuelle Objekte) definiert sein müssen.<ref name="Schmidt (1966)"/>

	Zusammenfassend ergeben sich also folgende notwendigen bzw. wünschenswerte Forderungen, die eine formale Definition von geordneten Paaren erfüllen muss bzw. sollte:		Zusammenfassend ergeben sich also folgende notwendigen bzw. wünschenswerte Forderungen, die eine formale Definition von geordneten Paaren erfüllen muss bzw. sollte:

Kowa am 14. August 2019 um 17:45 Uhr

2019-08-14T17:45:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. August 2019, 17:45 Uhr
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	Glubrecht, Oberschelp und Todt stellen die noch allgemeinere Forderung auf, dass die Definition des Paarbegriffs „adäquat“ sein müsse ([[Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)\|Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983), S. 203]])<ref name="Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)"/>. Darunter verstehen sie, dass nicht nur das Paaraxiom erfüllt sein muss, sondern dass, falls Paare klassentheoretisch definiert werden, Paare von „ realen Objekten“ stets auch selbst „reale Objekte“ sind. Die Unterscheidung zwischen [[reales Objekt\|realen]] und [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] wurde zur Vermeidung von Antinomien wie der [[Russellsche Antinomie\|Russelschen Antinomie]] eingeführt. Sie geht auf Quine (1963) zurück.<ref name="Quine (1993)">{{Quelle\|Quine (1963)}}</ref> Da reale Objekte gemäß ihrer Definition Elemente von anderen Objekten sein können, hat die Forderung von Glubrecht, Oberschelp und Todt zur Folge, dass Paare von realen Objekten ebenfalls Elemente anderer Objekte sein können. Dies ist für klassentheoretische Systeme sicherlich eine zumindest „wünschenswerte“ Zusatzforderung. Ob dagegen Paare von [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] überhaupt definiert werden können und falls „ja“, ob diese dann auch Elemente von anderen Objekten sein können, steht zunächst noch auf einem ganz anderen Blatt.		Glubrecht, Oberschelp und Todt stellen die noch allgemeinere Forderung auf, dass die Definition des Paarbegriffs „adäquat“ sein müsse ([[Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)\|Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983), S. 203]])<ref name="Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)"/>. Darunter verstehen sie, dass nicht nur das Paaraxiom erfüllt sein muss, sondern dass, falls Paare klassentheoretisch definiert werden, Paare von „ realen Objekten“ stets auch selbst „reale Objekte“ sind. Die Unterscheidung zwischen [[reales Objekt\|realen]] und [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] wurde zur Vermeidung von Antinomien wie der [[Russellsche Antinomie\|Russelschen Antinomie]] eingeführt. Sie geht auf Quine (1963) zurück.<ref name="Quine (1993)">{{Quelle\|Quine (1963)}}</ref> Da reale Objekte gemäß ihrer Definition Elemente von anderen Objekten sein können, hat die Forderung von Glubrecht, Oberschelp und Todt zur Folge, dass Paare von realen Objekten ebenfalls Elemente anderer Objekte sein können. Dies ist für klassentheoretische Systeme sicherlich eine zumindest „wünschenswerte“ Zusatzforderung. Ob dagegen Paare von [[virtuelles Objekt\|virtuellen Objekten]] überhaupt definiert werden können und falls „ja“, ob diese dann auch Elemente von anderen Objekten sein können, steht zunächst noch auf einem ganz anderen Blatt.

	Schmidt hatte bereits 1966 gefordert, dass Paare nicht nur für [[Menge]]n (reale Objekte), sondern auch für [[Unmengen]] (echte Klassen, virtuelle Objekte) definiert sein müssen.<ref name="Schmidt"/>		Schmidt hatte bereits 1966 gefordert, dass Paare nicht nur für [[Menge]]n (reale Objekte), sondern auch für [[Unmengen]] (echte Klassen, virtuelle Objekte) definiert sein müssen.<ref name="Schmidt (2966)"/>

	Zusammenfassend ergeben sich also folgende notwendigen bzw. wünschenswerte Forderungen, die eine formale Definition von geordneten Paaren erfüllen muss bzw. sollte:		Zusammenfassend ergeben sich also folgende notwendigen bzw. wünschenswerte Forderungen, die eine formale Definition von geordneten Paaren erfüllen muss bzw. sollte:

Kowa: /* Einheit von Logik und Mengenlehre */

2019-08-14T17:41:11Z

Einheit von Logik und Mengenlehre

← Nächstältere Version		Version vom 14. August 2019, 17:41 Uhr
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	Dass diese Definition von Morse mit der oben angegeben Definition übereistimmt, sieht man folgendermaßen:		Dass diese Definition von Morse mit der oben angegeben Definition übereistimmt, sieht man folgendermaßen:

	Das Symbol <math>\equiv</math> bedeutet bei Morse „definitionsgemäß ~~äquivaltent~~ zu“ (“Foreword”, S. xii). Es kann aber auch als		Das Symbol <math>\equiv</math> bedeutet bei Morse „definitionsgemäß äquivalent zu“ (“Foreword”, S. xii). Es kann aber auch als
	<math>=</math>, {{dh}} als „(definitionsgemäß) gleich zu“ aufgefasst werden (2.4, “axiom of definition for set theory”), wobei <math>=</math> für Klassen auf die übliche Weise definiert wird:		<math>=</math>, {{dh}} als „(definitionsgemäß) gleich zu“ aufgefasst werden (2.4, “axiom of definition for set theory”), wobei <math>=</math> für Klassen auf die übliche Weise definiert wird:

Kowa am 31. Juli 2019 um 16:59 Uhr

2019-07-31T16:59:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Juli 2019, 16:59 Uhr
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	In der Mathemtik und der Informatik ist es von fundamentaler Bedeutung, bestimmte Objekte		In der Mathemtik und der Informatik ist es von fundamentaler Bedeutung, bestimmte Objekte
	zu größeren Einheiten zusammenzufassen. In diesem Wiki werden Objekte, die andere Objekte		zu größeren Einheiten zusammenzufassen. In diesem Wiki werden Objekte, die andere Objekte
	enthalten können, als [[Container]] bezeichnet und Objekte, die in Containern enthalten sein können,		enthalten können, als {{Container}} bezeichnet und Objekte, die in Containern enthalten sein können,
	als [[Element]]e.		als [[Element]]e.