Menge (Mengenlehre) - Versionsgeschichte

Kowa am 31. Juli 2019 um 16:52 Uhr

2019-07-31T16:52:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Juli 2019, 16:52 Uhr
Zeile 180:		Zeile 180:
	* [[Tupel]] (die Reihenfolge der Elemente liegt fest; Elemente können mehrfach vorkommen)		* [[Tupel]] (die Reihenfolge der Elemente liegt fest; Elemente können mehrfach vorkommen)
	* [[Liste]] (die Reihenfolge der Elemente liegt fest; Elemente können mehrfach vorkommen)		* [[Liste]] (die Reihenfolge der Elemente liegt fest; Elemente können mehrfach vorkommen)
	* [[Feld]]/[[Array]] (die Reihenfolge und die Anzahl der Elemente liegen fest; Elemente können mehrfach vorkommen)		* {{Feld}}/{{Array}} (die Reihenfolge und die Anzahl der Elemente liegen fest; Elemente können mehrfach vorkommen)
	* [[assoziatives Feld]] (jedes Element hat einen eigenen Bezeichner; Elemente können mehrfach vorkommen)		* [[assoziatives Feld]] (jedes Element hat einen eigenen Bezeichner; Elemente können mehrfach vorkommen)
	* [[Multimenge]] (die Reihenfolge der Elemente ist undefiniert; Elemente können mehrfach vorkommen)		* [[Multimenge]] (die Reihenfolge der Elemente ist undefiniert; Elemente können mehrfach vorkommen)

Kowa am 24. August 2018 um 07:08 Uhr

2018-08-24T07:08:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2018, 07:08 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:

	'''Anmerkung:'''<br/>		'''Anmerkung:'''<br/>
	Dedekinds Definition ist ''naiv'' im Sinne von ..., da sie eine uneingeschränkte Mengenbildung und damit die Probleme der [[Russellsche Antinomie\|Russellschen Antinomie]] zulässt (siehe Abschnitt [[#Naive_Definitionen_des_Begriffs_.E2.80.9EMenge.E2.80.9C_und_Antinomien\|Naive Definitionen des Begriffs „Menge“ und Antinomien]]). Cantors Definitionen von 1874 und 1895 sind hier genauer, da nur ''bestimmte'' Objekte zu Mengen zusammengefasst werden können. Cantor gibt allerdings keine konkrete Definition an, welche Objekte in Mengen enthalten sein können und welche nicht.		Dedekinds Definition ist ''naiv'' im Sinne von Hausdorff<ref>{{Quelle\|Hausdorff (1914)}}, S. 1–2</ref>, da sie eine uneingeschränkte Mengenbildung und damit die Probleme der [[Russellsche Antinomie\|Russellschen Antinomie]] zulässt (siehe Abschnitt [[#Naive_Definitionen_des_Begriffs_.E2.80.9EMenge.E2.80.9C_und_Antinomien\|Naive Definitionen des Begriffs „Menge“ und Antinomien]]). Cantors Definitionen von 1874 und 1895 sind hier genauer, da nur ''bestimmte'' Objekte zu Mengen zusammengefasst werden können. Cantor gibt allerdings keine konkrete Definition an, welche Objekte in Mengen enthalten sein können und welche nicht.

	==Definition ([[Cantor (1895)]]<ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>)==		==Definition ([[Cantor (1895)]]<ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>)==

Kowa am 20. August 2018 um 11:32 Uhr

2018-08-20T11:32:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. August 2018, 11:32 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:

	Bolzanos Definition ist allerdings nicht sonderlich befriedigend, da er zur Definition des Begriffs „Menge“ den Begriff „Inbegriff“		Bolzanos Definition ist allerdings nicht sonderlich befriedigend, da er zur Definition des Begriffs „Menge“ den Begriff „Inbegriff“
	verwendet, der lange Zeit als Synonym für „Menge“ verwendet wird (vgl. nachfolgende ~~Definition~~ von Cantor).		verwendet, der lange Zeit als Synonym für „Menge“ verwendet wird (vgl. nachfolgende Definitionen von Cantor und Dedekind).

	==Definition ([[Cantor (1883)]], S. 43, Anm. 1<ref>{{Quelle\|Cantor (1883)}}</ref>, [[Cantor (1883b)]], S. 557, Anm. 1<ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref>)==		==Definition ([[Cantor (1883)]], S. 43, Anm. 1<ref>{{Quelle\|Cantor (1883)}}</ref>, [[Cantor (1883b)]], S. 557, Anm. 1<ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref>)==
Zeile 55:		Zeile 55:

	Außerdem wird anhand dieser Anmerkung klar, dass Cantor tatsächlich vor allem an Mengen mit unendlich vielen Elementen interessiert war.		Außerdem wird anhand dieser Anmerkung klar, dass Cantor tatsächlich vor allem an Mengen mit unendlich vielen Elementen interessiert war.

			==Definition ([[Dedekind (1888)]], S. 1 – 2, §1, 2.<ref>{{Quelle\|Dedekind (1888)}}</ref>)==
			<i>Es kommt sehr häufig vor, daß verschiedene Dinge ''a'', ''b'', ''c'' ... aus irgendeiner Veranlassung unter einem gemeinsamen Gesichtspuncte aufgefaßt, im Geiste zusammengestellt werden, und man sagt dann, daß sie ein '''System''' S bilden; man nennt die Dinge ''a'', ''b'', ''c'' ... die '''Elemente''' des Systems S, sie sind '''enthalten''' in S; umgekehrt '''besteht''' S aus diesen Elementen. Ein solches System S (oder ein Inbegriff, eine Mannigfaltigkeit, eine Gesamtheit) ist als Gegenstand unseres Denkens ebenfalls ein Ding (1); es ist vollständig bestimmt, wenn von jedem Ding bestimmt ist, ob es Element von S ist oder
			nicht.
			</i>

			'''Anmerkung:'''<br/>
			Dedekinds Definition ist ''naiv'' im Sinne von ..., da sie eine uneingeschränkte Mengenbildung und damit die Probleme der [[Russellsche Antinomie\|Russellschen Antinomie]] zulässt (siehe Abschnitt [[#Naive_Definitionen_des_Begriffs_.E2.80.9EMenge.E2.80.9C_und_Antinomien\|Naive Definitionen des Begriffs „Menge“ und Antinomien]]). Cantors Definitionen von 1874 und 1895 sind hier genauer, da nur ''bestimmte'' Objekte zu Mengen zusammengefasst werden können. Cantor gibt allerdings keine konkrete Definition an, welche Objekte in Mengen enthalten sein können und welche nicht.

	==Definition ([[Cantor (1895)]]<ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>)==		==Definition ([[Cantor (1895)]]<ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>)==
Zeile 83:		Zeile 91:
	„'''Menge'''“.</i>		„'''Menge'''“.</i>

	==~~Cantors~~ Definitionen und Antinomien==		==Naive Definitionen des Begriffs „Menge“ und Antinomien==

	~~Cantors ersten beiden Definitionen führen~~, ~~wenn man~~ eine uneingeschränkte Mengenbildung zulässt, zu [[Antinomie]]n,		Dedekinds Definition, die eine uneingeschränkte Mengenbildung zulässt, führt zu [[Antinomie]]n,
	{{dh}} zu logischen [[Paradoxon\|Paradoxien]]. Die berühmteste dieser Antonomien, nämlich		{{dh}} zu logischen [[Paradoxon\|Paradoxien]]. Die berühmteste dieser Antonomien, nämlich
	dass es keinen Menge geben kann, die alle Menge enthält, die sich nicht selbst enthalten, wurde 1902 erstmals von [[Bertrand Russell]] beschrieben und		dass es keinen Menge geben kann, die alle Menge enthält, die sich nicht selbst enthalten, wurde 1902 erstmals von [[Bertrand Russell]] beschrieben und

Kowa am 21. April 2018 um 17:53 Uhr

2018-04-21T17:53:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2018, 17:53 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	In dieser Schrift beweist Cantor, dass die Menge der [[algebraische Zahlen\|algebraischen Zahlen]] abzählbar, also [[Mächtigkeit\|genauso mächtig]]		In dieser Schrift beweist Cantor, dass die Menge der [[algebraische Zahlen\|algebraischen Zahlen]] abzählbar, also [[Mächtigkeit\|genauso mächtig]]
	wie die Menge der [[Natürliche Zahlen\|natürlichen Zahlen]] ist, aber die Menge der [[Reelle Zahlen\|reellen Zahlen]] überabzählbar, {{dh}} echt [[Mächtigkeit\|mächtiger]]		wie die Menge der [[Natürliche Zahlen\|natürlichen Zahlen]] ist, aber die Menge der [[Reelle Zahlen\|reellen Zahlen]] überabzählbar, {{dh}} echt [[Mächtigkeit\|mächtiger]]
	als die Menge der natürlichen Zahlen ist. (Insbesondere hat er damit die Existenz [[transzendernter Zahlen]], also nicht-algebraischer reeller Zahlen bewiesen. Allerdings hat ~~der~~ den Begriff „Inbegriff“/„Menge“ nicht definiert, sondern als anschaulich klar vorausgesetzt.) In den folgenden Jahren verfeinert Cantor die Grundideen der Mengenlehre in mehreren Abhandlungen zum Thema „Mannichfaltigkeitslehre“.		als die Menge der natürlichen Zahlen ist. (Insbesondere hat er damit die Existenz [[transzendernter Zahlen]], also nicht-algebraischer reeller Zahlen bewiesen. Allerdings hat er damals den Begriff „Inbegriff“/„Menge“ nicht definiert, sondern als anschaulich klar vorausgesetzt.) In den folgenden Jahren verfeinert Cantor die Grundideen der Mengenlehre in mehreren Abhandlungen zum Thema „Mannichfaltigkeitslehre“.
	Später ersetzt er die Begriffe „Inbegriff“ und „Mannichfaltigkeit“ durch den von Bolzano geprägten Begriff „Menge“.		Später ersetzt er die Begriffe „Inbegriff“ und „Mannichfaltigkeit“ durch den von Bolzano geprägten Begriff „Menge“.

Kowa am 21. April 2018 um 17:52 Uhr

2018-04-21T17:52:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2018, 17:52 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	In dieser Schrift beweist Cantor, dass die Menge der [[algebraische Zahlen\|algebraischen Zahlen]] abzählbar, also [[Mächtigkeit\|genauso mächtig]]		In dieser Schrift beweist Cantor, dass die Menge der [[algebraische Zahlen\|algebraischen Zahlen]] abzählbar, also [[Mächtigkeit\|genauso mächtig]]
	wie die Menge der [[Natürliche Zahlen\|natürlichen Zahlen]] ist, aber die Menge der [[Reelle Zahlen\|reellen Zahlen]] überabzählbar, {{dh}} echt [[Mächtigkeit\|mächtiger]]		wie die Menge der [[Natürliche Zahlen\|natürlichen Zahlen]] ist, aber die Menge der [[Reelle Zahlen\|reellen Zahlen]] überabzählbar, {{dh}} echt [[Mächtigkeit\|mächtiger]]
	als die Menge der natürlichen Zahlen ist. (Insbesondere hat er damit die Existenz [[transzendernter Zahlen]], also nicht-algebraischer reeller Zahlen bewiesen.)		als die Menge der natürlichen Zahlen ist. (Insbesondere hat er damit die Existenz [[transzendernter Zahlen]], also nicht-algebraischer reeller Zahlen bewiesen. Allerdings hat der den Begriff „Inbegriff“/„Menge“ nicht definiert, sondern als anschaulich klar vorausgesetzt.) In den folgenden Jahren verfeinert Cantor die Grundideen der Mengenlehre in mehreren Abhandlungen zum Thema „Mannichfaltigkeitslehre“.
	In den folgenden Jahren verfeinert Cantor die Grundideen der Mengenlehre in mehreren Abhandlungen zum Thema „Mannichfaltigkeitslehre“.
	Später ersetzt er die Begriffe „Inbegriff“ und „Mannichfaltigkeit“ durch den von Bolzano geprägten Begriff „Menge“.		Später ersetzt er die Begriffe „Inbegriff“ und „Mannichfaltigkeit“ durch den von Bolzano geprägten Begriff „Menge“.

Kowa am 21. April 2018 um 17:45 Uhr

2018-04-21T17:45:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2018, 17:45 Uhr
Zeile 101:		Zeile 101:
	und damit die heute übliche Unterscheidung zwischen „Mengen“ und „[[Unmenge]]n“ (= „echte Klassen“) vorweggenommen. Gemäß den Erkenntnissen von Cantor und Russell		und damit die heute übliche Unterscheidung zwischen „Mengen“ und „[[Unmenge]]n“ (= „echte Klassen“) vorweggenommen. Gemäß den Erkenntnissen von Cantor und Russell
	sind beispielsweise die [[Allklasse]] $\{x:x=x\}$, die Klasse aller [[Ordinalzahl]]en, die Klasse aller [[Kardinalzahlen]] sowie die		sind beispielsweise die [[Allklasse]] $\{x:x=x\}$, die Klasse aller [[Ordinalzahl]]en, die Klasse aller [[Kardinalzahlen]] sowie die
	[[Russellsche Antinomie\|Russellsche Klasse]] $\{x:x\not\in x\}$ ~~Unmengen~~.		[[Russellsche Antinomie\|Russellsche Klasse]] $\{x:x\not\in x\}$ ''inkonsistente Vielfachheiten''.

	Wie weit Cantors Erkenntnisse seiner Zeit voraus waren, erkennt man an Dedekinds Antwort auf seinen Brief. Er verstand Cantors Ausführungen nicht:		Wie weit Cantors Erkenntnisse seiner Zeit voraus waren, erkennt man an Dedekinds Antwort auf seinen Brief. Er verstand Cantors Ausführungen nicht:

Kowa: /* Definition (Cantor (1895){{Quelle|Cantor (1895)}}) */

2016-10-26T12:36:09Z

Definition (Cantor (1895){{Quelle|Cantor (1895)}})

← Nächstältere Version		Version vom 26. Oktober 2016, 12:36 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:
	'''Anmerkung:'''<br/>		'''Anmerkung:'''<br/>
	Cantor lässt nicht alle ''wohlunterscheidbaren Objecte'' unserer Anschauung und unseres Denkens zur Mengenbildung zu, sondern nur ''bestimmte''.		Cantor lässt nicht alle ''wohlunterscheidbaren Objecte'' unserer Anschauung und unseres Denkens zur Mengenbildung zu, sondern nur ''bestimmte''.
	Diese Einschränkung ist wesentlich, da eine unbegrenzte Mengenbildung sofort Antinomien, wie die [[Russellsche Antinomie]] zur Folge hätte.		Diese Einschränkung ist wesentlich, da eine unbegrenzte Mengenbildung sofort Antinomien, wie die [[Russellsche Antinomie]] zur Folge hätte (siehe Abschnitt 5).

	==Definition ([[Cantor (1899)]]<ref>{{Quelle\|Cantor (1899)}}</ref>)==		==Definition ([[Cantor (1899)]]<ref>{{Quelle\|Cantor (1899)}}</ref>)==

Kowa: /* Definition (Cantor (1895){{Quelle|Cantor (1895)}}) */

2016-10-26T12:35:12Z

Definition (Cantor (1895){{Quelle|Cantor (1895)}})

← Nächstältere Version		Version vom 26. Oktober 2016, 12:35 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	zu einem Ganzen.		zu einem Ganzen.
	</i>		</i>

			'''Anmerkung:'''<br/>
			Cantor lässt nicht alle ''wohlunterscheidbaren Objecte'' unserer Anschauung und unseres Denkens zur Mengenbildung zu, sondern nur ''bestimmte''.
			Diese Einschränkung ist wesentlich, da eine unbegrenzte Mengenbildung sofort Antinomien, wie die [[Russellsche Antinomie]] zur Folge hätte.

	==Definition ([[Cantor (1899)]]<ref>{{Quelle\|Cantor (1899)}}</ref>)==		==Definition ([[Cantor (1899)]]<ref>{{Quelle\|Cantor (1899)}}</ref>)==

Kowa: /* Cantors Definitionen und Antinomien */

2016-10-26T12:16:43Z

Cantors Definitionen und Antinomien

← Nächstältere Version		Version vom 26. Oktober 2016, 12:16 Uhr
Zeile 96:		Zeile 96:
	Cantor hat in seinem Brief vom 3. August 1899 an Dedekind den Vorschlag gemacht, zwischen „Mengen“ und „inkonsistenten Vielfachheiten“ zu unterscheiden (siehe vorangegangene Definition)		Cantor hat in seinem Brief vom 3. August 1899 an Dedekind den Vorschlag gemacht, zwischen „Mengen“ und „inkonsistenten Vielfachheiten“ zu unterscheiden (siehe vorangegangene Definition)
	und damit die heute übliche Unterscheidung zwischen „Mengen“ und „[[Unmenge]]n“ (= „echte Klassen“) vorweggenommen. Gemäß den Erkenntnissen von Cantor und Russell		und damit die heute übliche Unterscheidung zwischen „Mengen“ und „[[Unmenge]]n“ (= „echte Klassen“) vorweggenommen. Gemäß den Erkenntnissen von Cantor und Russell
	sind ~~beispielweise~~ die [[Allklasse]] $\{x:x=x\}$, die Klasse aller [[Ordinalzahl]]en, die Klasse aller [[Kardinalzahlen]] sowie die		sind beispielsweise die [[Allklasse]] $\{x:x=x\}$, die Klasse aller [[Ordinalzahl]]en, die Klasse aller [[Kardinalzahlen]] sowie die
	[[Russellsche Antinomie\|Russellsche Klasse]] $\{x:x\not\in x\}$ Unmengen.		[[Russellsche Antinomie\|Russellsche Klasse]] $\{x:x\not\in x\}$ Unmengen.

Zeile 104:		Zeile 104:

	Der Wunsch Cantors nach einem Fachgespräch erfüllte sich laut Meschkowski und Nilson nicht mehr.<ref name="Meschkowski, Nilson (1991), S. 413"/>		Der Wunsch Cantors nach einem Fachgespräch erfüllte sich laut Meschkowski und Nilson nicht mehr.<ref name="Meschkowski, Nilson (1991), S. 413"/>
	Er hat diese ~~Erkennitnisse~~ auch nicht mehr publiziert. Seine letzte Publikation stammt aus dem Jahr 1897,		Er hat diese Erkenntnisse auch nicht mehr publiziert. Seine letzte Publikation stammt aus dem Jahr 1897,
	obwohl er sich danach noch weiter mit der Mengenlehre befasst hat.<ref name="Meschkowski, Nilson (1991), S. 469">'''[[Meschkowski, Nilson (1991)]]''', S. 469</ref>		obwohl er sich danach noch weiter mit der Mengenlehre befasst hat.<ref name="Meschkowski, Nilson (1991), S. 469">'''[[Meschkowski, Nilson (1991)]]''', S. 469</ref>

Kowa: /* Definition (Bolzano (ca. 1840){{Quelle|Bolzano (1975)}}, S. 152) */

2016-09-26T17:35:35Z

Definition (Bolzano (ca. 1840){{Quelle|Bolzano (1975)}}, S. 152)

← Nächstältere Version		Version vom 26. September 2016, 17:35 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	Der Begriff wurde von [[Bernard Bolzano]] geprägt. Aber der eigentliche Begründer der [[Mengenlehre]] ist [[Georg Cantor]].		Der Begriff wurde von [[Bernard Bolzano]] geprägt. Aber der eigentliche Begründer der [[Mengenlehre]] ist [[Georg Cantor]].

	==Definition (Bolzano (ca. 1840)<ref>{{Quelle\|Bolzano (1975)}}, ~~[http://www.libreka.de/9783772804663/152~~ S. 152]</ref>)==		==Definition (Bolzano (ca. 1840)<ref>{{Quelle\|Bolzano (1975)}}, S. 152</ref>)==
	<i>		<i>
	Inbegriffe nun, bey welchen auf die Art, wie ihre Theile mit einander verbunden sind, gar nicht geachtet werden soll, an denen somit Alles, was wir an ihnen unterscheiden, bestimmt ist, sobald nur ihre Theile <selbst> bestimmt sind, verdienen es eben um dieser Beschaffenheit willen, mit einem eigenen Nahmen bezeichnet zu werden. In Ermangelung eines andern tauglichen Wortes erlaube ich mir das Wort </i>Menge<i> zu diesem Zwecke zu brauchen; da es von </i>Mengen<i> abgeleitet wird,		Inbegriffe nun, bey welchen auf die Art, wie ihre Theile mit einander verbunden sind, gar nicht geachtet werden soll, an denen somit Alles, was wir an ihnen unterscheiden, bestimmt ist, sobald nur ihre Theile <selbst> bestimmt sind, verdienen es eben um dieser Beschaffenheit willen, mit einem eigenen Nahmen bezeichnet zu werden. In Ermangelung eines andern tauglichen Wortes erlaube ich mir das Wort </i>Menge<i> zu diesem Zwecke zu brauchen; da es von </i>Mengen<i> abgeleitet wird,