Mengenlehre - Versionsgeschichte

Kowa am 31. Juli 2019 um 16:59 Uhr

2019-07-31T16:59:29Z

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	* [[Tupel]]/[[Liste]]: geordnet, jedes Objekt kann mehrfach enthalten sein		* [[Tupel]]/[[Liste]]: geordnet, jedes Objekt kann mehrfach enthalten sein

	In der Informatik werden [[Datenstruktur]]en, die mehrere Objekte zusammenfassen, häufig auch als [[Container]] bezeichnet.		In der Informatik werden [[Datenstruktur]]en, die mehrere Objekte zusammenfassen, häufig auch als {{Container}} bezeichnet.

	==Anmerkungen==		==Anmerkungen==

Kowa: /* Typische Zusammenfassungen von Objekten */

2016-09-25T14:42:24Z

Typische Zusammenfassungen von Objekten

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	[[Mengenlehre]] ist die mathematische Theorie von der [[Komprehension]], d.h. die mathematische Theorie von der Zusammenfassung von Objekten zu einer Gesamtheit.		[[Mengenlehre]] ist die mathematische Theorie von der [[Komprehension]], d.h. die mathematische Theorie von der Zusammenfassung von Objekten zu einer Gesamtheit.

	==Typische Zusammenfassungen von Objekten==		===Typische Zusammenfassungen von Objekten===

	* [[Menge (Mengenlehre)\|Menge]]/[[Klasse (Mengenlehre)\|Unmenge]]: ungeordnet, jedes Objekt kann höchstens einmal enthalten sein		* [[Menge (Mengenlehre)\|Menge]]/[[Klasse (Mengenlehre)\|Unmenge]]: ungeordnet, jedes Objekt kann höchstens einmal enthalten sein

Kowa: /* Anmerkungen */

2016-09-25T14:41:17Z

Anmerkungen

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	Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref><ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref> als auch die informellen Definitionen des Mengenbegriffs von [[Georg Cantor]] (1883, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1883)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>		Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref><ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref> als auch die informellen Definitionen des Mengenbegriffs von [[Georg Cantor]] (1883, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1883)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>
	die unbeschränkte Mengenbildung. Allerdings forderte Cantor bereits 1899 eine Einschränkung der Mengenbildung, so dass derartige		die unbeschränkte Mengenbildung. Allerdings forderte Cantor bereits 1899 eine Einschränkung der Mengenbildung, so dass derartige
	Antinomien nicht mehr möglich sind (vgl. [[Menge (Mengenlehre)#Cantors Definitionen und Antinomien\|~~Menge, Abschnitt „Cantors~~ Definitionen und ~~Antinomien“~~]]).<ref>{{Quelle\|Cantor (1899)}}</ref>		Antinomien nicht mehr möglich sind (vgl. „[[Menge (Mengenlehre)#Cantors Definitionen und Antinomien\|Cantors Definitionen und Antinomien]]“).<ref>{{Quelle\|Cantor (1899)}}</ref>

	In moderneren Axiomensystemen – beginnend mit den Systemen von [[ Bertrand Russell]] (1903, [[Typentheorie]])<ref>{{Quelle\|Russell (1903)}}</ref> und [[Ernst Zermelo]] (1908)<ref>{{Quelle\|Zermelo (1908)}}</ref> – wird versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden.		In moderneren Axiomensystemen – beginnend mit den Systemen von [[ Bertrand Russell]] (1903, [[Typentheorie]])<ref>{{Quelle\|Russell (1903)}}</ref> und [[Ernst Zermelo]] (1908)<ref>{{Quelle\|Zermelo (1908)}}</ref> – wird versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden.

Kowa: /* Anmerkungen */

2016-09-25T14:40:25Z

Anmerkungen

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	Typische derartige Paradoxa wurden Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts entdeckt: das [[Burali-Forti-Paradoxon]], die [[Cantorsche Antinomie\|Cantorschen Antinomien]] oder die [[Russellsche Antinomie]].		Typische derartige Paradoxa wurden Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts entdeckt: das [[Burali-Forti-Paradoxon]], die [[Cantorsche Antinomie\|Cantorschen Antinomien]] oder die [[Russellsche Antinomie]].

	Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, ~~d.h.~~ eine beliebige Zusammenfassung von		Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, {{dh}} eine beliebige Zusammenfassung von
	Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref><ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref> als auch die informellen Definitionen des Mengenbegriffs von [[Georg Cantor]] (1883, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1883)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>		Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref><ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref> als auch die informellen Definitionen des Mengenbegriffs von [[Georg Cantor]] (1883, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1883)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>
	die unbeschränkte Mengenbildung. Allerdings forderte Cantor bereits 1899 eine Einschränkung der Mengenbildung, so dass derartige		die unbeschränkte Mengenbildung. Allerdings forderte Cantor bereits 1899 eine Einschränkung der Mengenbildung, so dass derartige

Kowa: /* Anmerkungen */

2016-09-25T13:00:41Z

Anmerkungen

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Zeile 34:		Zeile 34:

	Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von		Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von
	Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref> ~~als auch die [[Menge_~~(~~Mengenlehre~~)~~#Definition_~~.~~28Cantor_~~.~~281883.29.2C_S._43.2C_Anm._1.5B2.5D.2C_Cantor_.281883b.29.2C_S._557.2C_Anm._1.5B3.5D.29~~\|informellen Definitionen des Mengenbegriffs]] von [[Georg Cantor]] (1883, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1883)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>		Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref><ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref> als auch die informellen Definitionen des Mengenbegriffs von [[Georg Cantor]] (1883, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1883)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>
	die unbeschränkte Mengenbildung.~~<ref>{{Quelle\|Gabriel et al~~. (~~1980~~)}}, ~~S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16~~. ~~Juni 1902</ref>~~<ref>{{Quelle\|~~Frege~~ (~~1903~~)}}~~, Nachwort~~</ref>		die unbeschränkte Mengenbildung. Allerdings forderte Cantor bereits 1899 eine Einschränkung der Mengenbildung, so dass derartige
			Antinomien nicht mehr möglich sind (vgl. [[Menge (Mengenlehre)#Cantors Definitionen und Antinomien\|Menge, Abschnitt „Cantors Definitionen und Antinomien“]]).<ref>{{Quelle\|Cantor (1899)}}</ref>

	In moderneren Axiomensystemen – beginnend mit den Systemen von [[ Bertrand Russell]] (1903, [[Typentheorie]])<ref>{{Quelle\|Russell (1903)}}</ref> und [[Ernst Zermelo]] (1908)<ref>{{Quelle\|Zermelo (1908)}}</ref> – wird versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden.		In moderneren Axiomensystemen – beginnend mit den Systemen von [[ Bertrand Russell]] (1903, [[Typentheorie]])<ref>{{Quelle\|Russell (1903)}}</ref> und [[Ernst Zermelo]] (1908)<ref>{{Quelle\|Zermelo (1908)}}</ref> – wird versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden.

Kowa: /* Anmerkungen */

2016-09-25T12:03:44Z

Anmerkungen

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2016, 12:03 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:

	Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von		Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von
	Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref> als auch die [[Menge_(Mengenlehre)#Definition_.28Cantor_.~~281893~~.29.5B2.5D.29\|informellen Definitionen des Mengenbegriffs]] von [[Georg Cantor]] (1883, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>		Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref> als auch die [[Menge_(Mengenlehre)#Definition_.28Cantor_.281883.29.2C_S._43.2C_Anm._1.5B2.5D.2C_Cantor_.281883b.29.2C_S._557.2C_Anm._1.5B3.5D.29\|informellen Definitionen des Mengenbegriffs]] von [[Georg Cantor]] (1883, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1883)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>
	die unbeschränkte Mengenbildung.<ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref>		die unbeschränkte Mengenbildung.<ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref>

Kowa am 19. September 2016 um 16:25 Uhr

2016-09-19T16:25:52Z

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	Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von		Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von
	Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref> als auch die [[Menge_(Mengenlehre)#Definition_.28Cantor_.281893.29.5B2.5D.29\|informellen Definitionen des Mengenbegriffs]] von [[Georg Cantor]] (~~1893~~, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (~~1893b~~)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>		Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref> als auch die [[Menge_(Mengenlehre)#Definition_.28Cantor_.281893.29.5B2.5D.29\|informellen Definitionen des Mengenbegriffs]] von [[Georg Cantor]] (1883, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1883b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>
	die unbeschränkte Mengenbildung.<ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref>		die unbeschränkte Mengenbildung.<ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref>

Kowa: /* Anmerkungen */

2016-07-10T11:34:03Z

Anmerkungen

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	die unbeschränkte Mengenbildung.<ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref>		die unbeschränkte Mengenbildung.<ref>{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref><ref>{{Quelle\|Frege (1903)}}, Nachwort</ref>

	In moderneren Axiomensystemen ~~wird,~~ beginnend mit den Systemen von [[ Bertrand Russell]] (1903, [[Typentheorie]])<ref>{{Quelle\|Russell (1903)}}</ref> und [[Ernst Zermelo]] (1908)<ref>{{Quelle\|Zermelo (1908)}}</ref>, versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden.		In moderneren Axiomensystemen – beginnend mit den Systemen von [[ Bertrand Russell]] (1903, [[Typentheorie]])<ref>{{Quelle\|Russell (1903)}}</ref> und [[Ernst Zermelo]] (1908)<ref>{{Quelle\|Zermelo (1908)}}</ref> – wird versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden.
	Ob dies allerdings tatsächlich gelungen ist – wovon man heute ausgeht –, kann nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus		Ob dies allerdings tatsächlich gelungen ist – wovon man heute ausgeht –, kann nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus
	dem [[zweiter Unvollständigkeitssatz\|zweiten Unvollständigkeitssatz]] von [[Kurt Gödel]]<ref name="Gödel">{{Quelle\|Gödel (1931)}}</ref> ziehen kann.		dem [[zweiter Unvollständigkeitssatz\|zweiten Unvollständigkeitssatz]] von [[Kurt Gödel]]<ref name="Gödel">{{Quelle\|Gödel (1931)}}</ref> ziehen kann.
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	* [[Morse-Kelley-Mengenlehre]]		* [[Morse-Kelley-Mengenlehre]]
	* [[Ackermann-Mengenlehre]]		* [[Ackermann-Mengenlehre]]
			* [[Klassenlogik]]en

	==Quellen==		==Quellen==

Kowa: /* Anmerkungen */

2016-07-10T11:31:31Z

Anmerkungen

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2016, 11:31 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:

	Man unterscheidet heutzutage zwischen der „'''naiven Mengenlehre'''“ und der „'''axiomatischen Mengenlehre'''“.<ref name="Brockhaus"/>		Man unterscheidet heutzutage zwischen der „'''naiven Mengenlehre'''“ und der „'''axiomatischen Mengenlehre'''“.<ref name="Brockhaus"/>
	Allerdings sollte man eher zwischen '''unbeschränkter''' („naiver“) und '''beschränkter Mengenbildung''' ~~bzw.~~ zwischen '''unbeschränkter''' und '''beschränkter [[Komprehension]]''' unterscheiden.		Allerdings sollte man eher zwischen '''unbeschränkter''' („naiver“) und '''beschränkter Mengenbildung''', {{dh}} zwischen '''unbeschränkter''' und '''beschränkter [[Komprehension]]''' unterscheiden.

	[[Felix Hausdorff]] nennt einen Mengenbegriff „naiv“, wenn er zu Paradoxien führt.<ref>{{Quelle\|Hausdorff (1914)}}, S. 1 und S.2</ref>		[[Felix Hausdorff]] nennt einen Mengenbegriff „naiv“, wenn er zu Paradoxien führt.<ref>{{Quelle\|Hausdorff (1914)}}, S. 1 und S.2</ref>

Kowa: /* Anmerkungen */

2015-05-07T13:14:43Z

Anmerkungen

← Nächstältere Version		Version vom 7. Mai 2015, 13:14 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	Allerdings sollte man eher zwischen '''unbeschränkter''' („naiver“) und '''beschränkter Mengenbildung''' bzw. zwischen '''unbeschränkter''' und '''beschränkter [[Komprehension]]''' unterscheiden.		Allerdings sollte man eher zwischen '''unbeschränkter''' („naiver“) und '''beschränkter Mengenbildung''' bzw. zwischen '''unbeschränkter''' und '''beschränkter [[Komprehension]]''' unterscheiden.

	[[Felix Hausdorff]] nennt einen Mengenbegriff „naiv“, wenn er zu Paradoxien,		[[Felix Hausdorff]] nennt einen Mengenbegriff „naiv“, wenn er zu Paradoxien führt.<ref>{{Quelle\|Hausdorff (1914)}}, S. 1 und S.2</ref>
	~~wie z.B. der sogenannten [[Russellsche Antinomie\|Russellschen Antinomie]]~~		Typische derartige Paradoxa wurden Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts entdeckt: das [[Burali-Forti-Paradoxon]], die [[Cantorsche Antinomie\|Cantorschen Antinomien]] oder die [[Russellsche Antinomie]].
	führt.<ref>{{Quelle\|Hausdorff (1914)}}, S. 1 und S.2</ref>
	Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von		Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von
	Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref> als auch die [[Menge_(Mengenlehre)#Definition_.28Cantor_.281893.29.5B2.5D.29\|informellen Definitionen des Mengenbegriffs]] von [[Georg Cantor]] (1893, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1893b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>		Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl das (sicherlich nicht naive) Axiomensystem von [[Gottlob Frege]] (1893)<ref>{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref> als auch die [[Menge_(Mengenlehre)#Definition_.28Cantor_.281893.29.5B2.5D.29\|informellen Definitionen des Mengenbegriffs]] von [[Georg Cantor]] (1893, 1895)<ref>{{Quelle\|Cantor (1893b)}}</ref><ref>{{Quelle\|Cantor (1895)}}</ref>