Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz) - Versionsgeschichte

Kowa: /* Satz */

2019-04-14T13:57:00Z

Satz

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Kowa: /* Satz */

2019-04-14T13:50:54Z

Satz

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+die in Lehrveranstaltungen und Studienarbeiten an der [[Fachhochschule Augsburg]] verwendet werden,
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Kowa: /* Satz */

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Satz

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	Dann gilt:		Dann gilt:
	# <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />~~ ~~
	#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />		(1) <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}</math><br />		(1a) <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[}</math><br />		(1b) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[}</math>~~<br /> ~~		(1c) <math>\displaystyle{x \in\, [a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[}</math><br />
	# <math>\displaystyle{x < a \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0}</math><br />		(1d) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[}</math>
	#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]}</math>~~<br /> ~~		(2) <math>\displaystyle{x < a \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0}</math><br />
	# <math>\displaystyle{b < x \ \leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a}}</math><br />		(2a) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[}</math><br />		(2b) <math>\displaystyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]}</math>
	#* <math>\displaystyle{x \in\, [b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[}</math><br />~~ ~~
	# <math>\displaystyle{x < c \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}}</math>~~<br /> ~~		(3) <math>\displaystyle{b < x \ \leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a}}</math><br />
	# <math>\displaystyle{c < x \ \leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}}</math>~~<br /> ~~		(3a) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[}</math><br />
			(3b) <math>\displaystyle{x \in\, [b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[}</math><br />

			(4) <math>\displaystyle{x < c \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}}</math>

			(5) <math>\displaystyle{c < x \ \leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}}</math>

	==Beweis der ersten Aussage==		==Beweis der ersten Aussage==

Kowa am 22. September 2014 um 09:50 Uhr

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	}}		}}
	==~~Voraussetzung~~==		==Satz==
	Es seien $a,b \in \mathbb R$ zwei relle Zahlen mit $a < b$		Es seien $a,b \in \mathbb R$ zwei relle Zahlen mit $a < b$
	(d.h. $a$ und $b$ definieren ein endliches Intervall) sowie $c, x \in \mathbb{R}$.		(d.h. $a$ und $b$ definieren ein endliches Intervall) sowie $c, x \in \mathbb{R}$.

	~~==Satz==~~		Dann gilt:
	# <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />		# <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />

Kowa: /* Satz */

2014-09-22T09:49:36Z

Satz

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	==Satz==		==Satz==
	~~Es seien $a,b \in \mattbb R$ und $a\not= b$. Dann gilt:~~
	# <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />		# <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />

Kowa: /* Voraussetzung */

2014-09-22T09:49:12Z

Voraussetzung

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	}}		}}
	==Voraussetzung==		==Voraussetzung==
	Es seien $a,b \in \mathbb{R}$ zwei relle Zahlen mit $a < b$		Es seien $a,b \in \mathbb R$ zwei relle Zahlen mit $a < b$
	(d.h. $a$ und $b$ definieren ein endliches Intervall) sowie $c, x \in \mathbb{R}$.		(d.h. $a$ und $b$ definieren ein endliches Intervall) sowie $c, x \in \mathbb{R}$.

Kowa: /* Satz */

2014-09-22T09:48:09Z

Satz

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	==Satz==		==Satz==
	# <math>\displaystyle{a \le x \le ~~b \wedge a \not=~~ b\ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />		Es seien $a,b \in \mattbb R$ und $a\not= b$. Dann gilt:
			# <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}</math><br />

Kowa: /* Satz */

2014-09-22T09:46:27Z

Satz

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	==Satz==		==Satz==
	# <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />		# <math>\displaystyle{a \le x \le b \wedge a \not= b\ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}</math><br />

Kowa am 22. September 2014 um 09:45 Uhr

2014-09-22T09:45:19Z

Kowa: /* Quellen */

2014-09-22T09:44:13Z

Quellen

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	==Quellen==		==Quellen==

	# Autor des Beweises: [[~~Benutzer:Kowa\|W.~~ Kowarschick]]		# Autor des Beweises: [[Wolfgang Kowarschick]]
	#{{Quelle\|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}		#{{Quelle\|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}

	[[Kategorie:Mathematischer Satz]]		[[Kategorie:Mathematischer Satz]]

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	==Satz==		==Satz==
	# <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \~~Leftrightarrow~~\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />		# <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b[ \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\, [a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[}</math><br />
	# <math>\displaystyle{x < a \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{x-a}{b-a} < 0}</math><br />		# <math>\displaystyle{x < a \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]}</math><br />
	# <math>\displaystyle{b < x \ \~~Leftrightarrow~~\ 1 < \frac{x-a}{b-a}}</math><br />		# <math>\displaystyle{b < x \ \leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a}}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[}</math><br />
	#* <math>\displaystyle{x \in\, [b, \infty[ \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[}</math><br />		#* <math>\displaystyle{x \in\, [b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[}</math><br />
	# <math>\displaystyle{x < c \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}}</math><br />		# <math>\displaystyle{x < c \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}}</math><br />
	# <math>\displaystyle{c < x \ \~~Leftrightarrow~~\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}}</math><br />		# <math>\displaystyle{c < x \ \leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}}</math><br />

	==Beweis der ersten Aussage==		==Beweis der ersten Aussage==
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