Russellsche Antinomie - Versionsgeschichte

Kowa am 2. September 2019 um 16:08 Uhr

2019-09-02T16:08:57Z

Kowa: /* Russellsche Antinomie */

2019-06-03T08:40:26Z

Russellsche Antinomie

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2019, 08:40 Uhr
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	wenn sie eine Menge ist und sich nicht selbst enthält:		wenn sie eine Menge ist und sich nicht selbst enthält:

	<div class="formula"><math>\mathcal R \in \mathcal R \,\Leftrightarrow\, \mathcal R \in \{x\|x \mbox{ ist eine Menge} \wedge x \notin x\} \,\Leftrightarrow\, \mathcal R \mbox{ist ein Menge} \wedge \mathcal R \notin \mathcal R</math></div>		<div class="formula"><math>\mathcal R \in \mathcal R \,\Leftrightarrow\, \mathcal R \in \{x\|x \mbox{ ist eine Menge} \wedge x \notin x\} \,\Leftrightarrow\, \mathcal R \mbox{ ist ein Menge} \wedge \mathcal R \notin \mathcal R</math></div>

	Wenn man die berühmte Cantorsche Definition von 1895		Wenn man die berühmte Cantorsche Definition von 1895

Kowa: /* Russellsche Antinomie */

2019-06-03T08:10:08Z

Russellsche Antinomie

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2019, 08:10 Uhr
Zeile 216:		Zeile 216:
	wenn sie eine Menge ist und sich nicht selbst enthält:		wenn sie eine Menge ist und sich nicht selbst enthält:

	<div class="formula"><math>\mathcal R \in \mathcal R \Leftrightarrow \mathcal R \mbox{ ist ein Menge} \wedge \mathcal R \notin \mathcal R</math></div>		<div class="formula"><math>\mathcal R \in \mathcal R \,\Leftrightarrow\, \mathcal R \in \{x\|x \mbox{ ist eine Menge} \wedge x \notin x\} \,\Leftrightarrow\, \mathcal R \mbox{ist ein Menge} \wedge \mathcal R \notin \mathcal R</math></div>

	Wenn man die berühmte Cantorsche Definition von 1895		Wenn man die berühmte Cantorsche Definition von 1895

Kowa: /* Definition der „Menge aller Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft“ */

2019-06-03T08:07:31Z

Definition der „Menge aller Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft“

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2019, 08:07 Uhr
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	in Zeichen <math>b \in \{x\|A(x)\}</math>, wenn <math>A(b)</math> wahr ist,		in Zeichen <math>b \in \{x\|A(x)\}</math>, wenn <math>A(b)</math> wahr ist,
	{{dh}}, wenn <math>A(b)</math> den Wert <code>wahr</code> hat.		{{dh}}, wenn <math>A(b)</math> den Wert <code>wahr</code> hat.

			<div class="formula"><math>b \in \{x\|A(x)\} \Leftrightarrow A(b)</math></div>

	'''Beispiele'''		'''Beispiele'''

	* <math>S_{HSA} := \{x\|x \mbox{ ist derzeit Student an der Hochschule Augsburg}\}</math> ist die Menge aller derzeit an der {{HSA}} immatrikulierten Studenten (diese Menge ändert sich im Laufe der Zeit).
	* <math>P = \{x\|x \mbox{ ist eine Primzahl}\}</math> ist die Menge aller Primzahlen; <math>7 \in P</math>, <math>8 \not\in P</math>.		* <math>P = \{x\|x \mbox{ ist eine Primzahl}\}</math> ist die Menge aller Primzahlen; <math>7 \in P</math>, <math>8 \not\in P</math>.
	* <math>\mathbb{Q} := \{x\|x \mbox{ ist eine rationale Zahl}\}</math> ist die Menge der rationalen Zahlen; <math>2/3 \in \mathbb{Q}, \pi \not\in \mathbb{Q}</math>.		* <math>\mathbb{Q} := \{x\|x \mbox{ ist eine rationale Zahl}\}</math> ist die Menge der rationalen Zahlen; <math>2/3 \in \mathbb{Q}, \pi \not\in \mathbb{Q}</math>.
	* <math>\mathcal{V} := \{x\|x \mbox{ ist eine Menge}\}</math> sei die Menge aller Mengen; <math>S_{HSA} \in \mathcal{V}, P \in \mathcal{V}</math>, <math>\mathbb{Q} \in \mathcal{V}</math>, <math>\mathcal{V} \in \mathcal{V}</math> (sofern <math>\mathcal{V}</math> tatsächlich eine Menge wäre).		* <math>\mathcal{V} := \{x\|x \mbox{ ist eine Menge}\}</math> sei die Menge aller Mengen; <math>S_{HSA} \in \mathcal{V}, P \in \mathcal{V}</math>, <math>\mathbb{Q} \in \mathcal{V}</math>, <math>\mathcal{V} \in \mathcal{V}</math> (sofern <math>\mathcal{V}</math> tatsächlich eine Menge wäre).
			* <math>S_{HSA} := \{x\|x \mbox{ ist derzeit Student an der Hochschule Augsburg}\}</math> ist die Menge aller derzeit an der {{HSA}} immatrikulierten Studenten (diese Menge ändert sich im Laufe der Zeit).

	===Mengen, die sich selbst enthalten===		===Mengen, die sich selbst enthalten===

Kowa: /* Formalere Beschreibung der Russellschen Antinomie */

2019-06-03T08:04:05Z

Formalere Beschreibung der Russellschen Antinomie

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2019, 08:04 Uhr
Zeile 110:		Zeile 110:

	==Formalere Beschreibung der Russellschen Antinomie==		==Formalere Beschreibung der Russellschen Antinomie==
	~~Zuvor~~ wurde Russellsche Antinomie informell beschrieben. Im Folgenden wird das Problem auf etwas formalerer Ebene beleuchtet.		In der Definition wurde Russellsche Antinomie informell beschrieben. Im Folgenden wird das Problem auf etwas formalerer Ebene beleuchtet.

	Siehe auch: [[Klasse (Mengenlehre)#Axiomatisierung\|Klasse, Abschnitt „Axiomatisierung“]]		Siehe auch: [[Klasse (Mengenlehre)#Axiomatisierung\|Klasse, Abschnitt „Axiomatisierung“]]

Kowa: /* Geschichte */

2019-06-03T08:02:52Z

Geschichte

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2019, 08:02 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:

	Anfang des 20. Jahrhunderts hat man noch nicht zwischen ''{{Klasse}}n'' und ''{{Menge}}n'' unterschieden.		Anfang des 20. Jahrhunderts hat man noch nicht zwischen ''{{Klasse}}n'' und ''{{Menge}}n'' unterschieden.
	Diese Unterscheidung wurde erst später eingeführt, um die Russellsche Antinomie und andere Paradoxa zu vermeiden; siehe [[Russellsche_Antinomie#Klassen\|unten]]		Diese Unterscheidung wurde erst später eingeführt, um die Russellsche Antinomie und andere Paradoxa zu vermeiden (siehe [[Russellsche_Antinomie#Klassen\|unten]]).

	Die Russellklasse ist gemäß Freges Axiomensystem eine Menge und kann außerdem Element von anderen Mengen sein – evtl. sogar von sich selbst!		Die Russellklasse ist gemäß Freges Axiomensystem eine Menge und kann außerdem Element von anderen Mengen sein – evtl. sogar von sich selbst!

Kowa: /* Geschichte */

2019-06-03T08:02:19Z

Geschichte

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2019, 08:02 Uhr
Zeile 66:		Zeile 66:
	==Geschichte==		==Geschichte==

	Der von [[Bernard Bolzano\|Bolzano]], [[Gottlob Frege\|Frege]], [[Richard Dedekind\|Dedekind]] und anderen geprägte „naive“ {{Menge}}begriff führt zu einer [[Antinomie]].		Der von [[Bernard Bolzano\|Bolzano]], [[Gottlob Frege\|Frege]], [[Richard Dedekind\|Dedekind]] und anderen geprägte „naive“ {{Menge}}begriff, das beliebige Objekte in einer
			Menge zusammengefasst werden können, führt zu einer [[Antinomie]].
	Dieses logische [[Paradoxon]] wurde Anfang des 20. Jahrhunderts von		Dieses logische [[Paradoxon]] wurde Anfang des 20. Jahrhunderts von
	[[Bertrand Russell]] im Axiomensystem von Frege<ref name="Frege (1893)">{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref> entdeckt.<ref name="Irvine, Deutsch (2014)">{{Quelle\|Irvine, Deutsch (2014)}}</ref> Russell schrieb seine Entdeckung am 16. Juni [[1902]] an Frege.<ref name="Brief an Frege">{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref>		[[Bertrand Russell]] im Axiomensystem von Frege<ref name="Frege (1893)">{{Quelle\|Frege (1893)}}</ref> entdeckt.<ref name="Irvine, Deutsch (2014)">{{Quelle\|Irvine, Deutsch (2014)}}</ref> Russell schrieb seine Entdeckung am 16. Juni [[1902]] an Frege.<ref name="Brief an Frege">{{Quelle\|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref>

Kowa: /* Informelle Beschreibung der Russellschen Antinomie */

2019-06-03T08:01:06Z

Informelle Beschreibung der Russellschen Antinomie

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2019, 08:01 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	([[PhD]]) verliehen wird.		([[PhD]]) verliehen wird.

	==~~Informelle Beschreibung der Russellschen Antinomie~~==		==Geschichte==

	Der von [[Bernard Bolzano\|Bolzano]], [[Gottlob Frege\|Frege]], [[Richard Dedekind\|Dedekind]] und anderen geprägte „naive“ {{Menge}}begriff führt zu einer [[Antinomie]].		Der von [[Bernard Bolzano\|Bolzano]], [[Gottlob Frege\|Frege]], [[Richard Dedekind\|Dedekind]] und anderen geprägte „naive“ {{Menge}}begriff führt zu einer [[Antinomie]].

Kowa: /* Bedeutung der Antinomie */

2019-06-03T08:00:10Z

Bedeutung der Antinomie

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2019, 08:00 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	jedoch ebenfalls behoben werden konnte.		jedoch ebenfalls behoben werden konnte.

	Aus Russells und Gödels Ergebnissen lässt sich eine fundamentale Erkenntnis ableiten: Auch die Mathematik ist ~~letztliche~~ eine Glaubensfrage.		Aus Russells und Gödels Ergebnissen lässt sich eine fundamentale Erkenntnis ableiten: Auch die Mathematik ist letztlich eine Glaubensfrage.
	Eine endgültige Sicherheit wird es nie geben. Daher ist es auch sehr sinnvoll, dass in ~~vielen~~ Ländern den Mathematikern ein „Doktor in Philosophie“		Eine endgültige Sicherheit wird es nie geben. Daher ist es auch sehr sinnvoll, dass in englischsprachigen Ländern den Mathematikern ein „Doktor der Philosophie“
	([[PhD]]) verliehen wird.		([[PhD]]) verliehen wird.

Kowa: /* Bedeutung der Antinomie */

2019-06-03T07:57:27Z

Bedeutung der Antinomie

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2019, 07:57 Uhr
Zeile 46:		Zeile 46:
	ist es nicht mehr möglich, ein System zur Formalisierung der Mathematik zu definieren, ohne zu begründen, dass		ist es nicht mehr möglich, ein System zur Formalisierung der Mathematik zu definieren, ohne zu begründen, dass
	die bekannten Antinomien nicht auf eine naheliegende Weise mit Hilfe der Formalismen des Systems abgeleitet werden können.		die bekannten Antinomien nicht auf eine naheliegende Weise mit Hilfe der Formalismen des Systems abgeleitet werden können.
	Allerdings ist es aufgrund der [[Gödelsche Unvollständigkeitssätze\|Gödelschen Unvollständigkeitssätze]] nicht möglich, zu beweisen, dass ein derartiges System widerspruchsfrei ist.		Allerdings ist es aufgrund der [[Gödelsche Unvollständigkeitssätze\|Gödelschen Unvollständigkeitssätze]] nicht möglich, zu beweisen,
			dass ein derartiges System auch wirklich widerspruchsfrei ist.

	Wie gesagt: Falls ein System widerspruchsvoll sein sollte, kann man alles beweisen, insbesondere jede Antinomie.		Wie gesagt: Falls ein System widerspruchsvoll sein sollte, kann man alles beweisen, insbesondere jede Antinomie.
	Das heißt, die Antinomie-Freiheit kann ~~nicht~~ bewiesen werden. Es ist aber jederzeit möglich, dass ein findiger Kopf einen Widerspruch in		Das heißt, die Antinomie-Freiheit eines (hinreichend komplexen) formalen Systems kann niemlas bewiesen werden.
			Es ist aber jederzeit möglich, dass ein findiger Kopf einen Widerspruch in
	einem aktuellen formalen System findet und damit beweist, dass in diesem System jede beliebige Aussage ableitbar ist.		einem aktuellen formalen System findet und damit beweist, dass in diesem System jede beliebige Aussage ableitbar ist.
	Den Mathematikern, Logikern und Philosophen bleibt daher nichts weiter übrig, als darauf zu vertrauen, dass ein derartiger Widerspruch nicht		Den Mathematikern, Logikern und Philosophen bleibt daher nichts weiter übrig, als darauf zu vertrauen, dass ein derartiger Widerspruch nicht
Zeile 57:		Zeile 59:
	[[Kombinatorische Logik\|Kombinatorischen Logik]] von [[Moses Schönfinkel]] and [[Haskell Curry]] einen Widerspruch,<ref>{{Quelle\|Kleene, Rosser (1935)}}</ref> der		[[Kombinatorische Logik\|Kombinatorischen Logik]] von [[Moses Schönfinkel]] and [[Haskell Curry]] einen Widerspruch,<ref>{{Quelle\|Kleene, Rosser (1935)}}</ref> der
	jedoch ebenfalls behoben werden konnte.		jedoch ebenfalls behoben werden konnte.

			Aus Russells und Gödels Ergebnissen lässt sich eine fundamentale Erkenntnis ableiten: Auch die Mathematik ist letztliche eine Glaubensfrage.
			Eine endgültige Sicherheit wird es nie geben. Daher ist es auch sehr sinnvoll, dass in vielen Ländern den Mathematikern ein „Doktor in Philosophie“
			([[PhD]]) verliehen wird.

	==Informelle Beschreibung der Russellschen Antinomie==		==Informelle Beschreibung der Russellschen Antinomie==

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2019, 08:07 Uhr
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	in Zeichen <math>b \in \{x\|A(x)\}</math>, wenn <math>A(b)</math> wahr ist,		in Zeichen <math>b \in \{x\|A(x)\}</math>, wenn <math>A(b)</math> wahr ist,
	{{dh}}, wenn <math>A(b)</math> den Wert <code>wahr</code> hat.		{{dh}}, wenn <math>A(b)</math> den Wert <code>wahr</code> hat.

			<div class="formula"><math>b \in \{x\|A(x)\} \Leftrightarrow A(b)</math></div>

	'''Beispiele'''		'''Beispiele'''

	* <math>S_{HSA} := \{x\|x \mbox{ ist derzeit Student an der Hochschule Augsburg}\}</math> ist die Menge aller derzeit an der {{HSA}} immatrikulierten Studenten (diese Menge ändert sich im Laufe der Zeit).
	* <math>P = \{x\|x \mbox{ ist eine Primzahl}\}</math> ist die Menge aller Primzahlen; <math>7 \in P</math>, <math>8 \not\in P</math>.		* <math>P = \{x\|x \mbox{ ist eine Primzahl}\}</math> ist die Menge aller Primzahlen; <math>7 \in P</math>, <math>8 \not\in P</math>.
	* <math>\mathbb{Q} := \{x\|x \mbox{ ist eine rationale Zahl}\}</math> ist die Menge der rationalen Zahlen; <math>2/3 \in \mathbb{Q}, \pi \not\in \mathbb{Q}</math>.		* <math>\mathbb{Q} := \{x\|x \mbox{ ist eine rationale Zahl}\}</math> ist die Menge der rationalen Zahlen; <math>2/3 \in \mathbb{Q}, \pi \not\in \mathbb{Q}</math>.
	* <math>\mathcal{V} := \{x\|x \mbox{ ist eine Menge}\}</math> sei die Menge aller Mengen; <math>S_{HSA} \in \mathcal{V}, P \in \mathcal{V}</math>, <math>\mathbb{Q} \in \mathcal{V}</math>, <math>\mathcal{V} \in \mathcal{V}</math> (sofern <math>\mathcal{V}</math> tatsächlich eine Menge wäre).		* <math>\mathcal{V} := \{x\|x \mbox{ ist eine Menge}\}</math> sei die Menge aller Mengen; <math>S_{HSA} \in \mathcal{V}, P \in \mathcal{V}</math>, <math>\mathbb{Q} \in \mathcal{V}</math>, <math>\mathcal{V} \in \mathcal{V}</math> (sofern <math>\mathcal{V}</math> tatsächlich eine Menge wäre).
			* <math>S_{HSA} := \{x\|x \mbox{ ist derzeit Student an der Hochschule Augsburg}\}</math> ist die Menge aller derzeit an der {{HSA}} immatrikulierten Studenten (diese Menge ändert sich im Laufe der Zeit).

	===Mengen, die sich selbst enthalten===		===Mengen, die sich selbst enthalten===

← Nächstältere Version		Version vom 2. September 2019, 16:08 Uhr
Zeile 226:		Zeile 226:
	In Worten: Die Russellklasse enthält sich genau dann selbst, wenn sie sich nicht selbst enthält.		In Worten: Die Russellklasse enthält sich genau dann selbst, wenn sie sich nicht selbst enthält.

	[[Datei:Container ~~paradoxa~~.~~png~~\|mini\|250px\|Mengenuniversum, in der jede Menge ein Individuum ist und damit selbst Element von Mengen sein kann]]		[[Datei:Container russellsche antinomie.svg\|mini\|250px\|Mengenuniversum, in der jede Menge ein Individuum ist und damit selbst Element von Mengen sein kann]]
	Moderne Formalisierungen der Logik und/oder der Mengenlehre basieren auf einer Menge von Ausdrücken oder Formeln (Ausdrucks[[universum]])		Moderne Formalisierungen der Logik und/oder der Mengenlehre basieren auf einer Menge von Ausdrücken oder Formeln (Ausdrucks[[universum]])
	und einer beliebigen Anzahl von [[Universum\|Individuenbereichen]], die verwendet werden können, um die Ausdrücke zu interpretieren.		und einer beliebigen Anzahl von [[Universum\|Individuenbereichen]], die verwendet werden können, um die Ausdrücke zu interpretieren.
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	==== [[Typentheorie]] ====		==== [[Typentheorie]] ====
	[[Datei:Container_typhierarchie_1.~~png~~\|mini\|250px\|Mengenuniversum, in der jede Menge der Stufe <math>i</math> ein Individuum der Stufe <math>i+1</math> ist]]		[[Datei:Container_typhierarchie_1.svg\|mini\|250px\|Mengenuniversum, in der jede Menge der Stufe <math>i</math> ein Individuum der Stufe <math>i+1</math> ist]]
	[[Datei:Container_typhierarchie_2.~~png~~\|mini\|250px\|Mengenuniversum, in der jede Menge der Stufe <math>i</math> ein Individuum aller Stufen <math>j > i</math> ist]]		[[Datei:Container_typhierarchie_2.svg\|mini\|250px\|Mengenuniversum, in der jede Menge der Stufe <math>i</math> ein Individuum aller Stufen <math>j > i</math> ist]]
	Die von Russell [[1903]] in seiner [[Typentheorie]] vorgeschlagene Lösung, Mengen abhängig von den darin enthaltenen Mengen hierarchisch in „Ebenen" anzuordnen, verhindert die Definition von <math>\mathcal{R}</math>. Es gibt keine Ebene, auf der <math>\mathcal{R}</math> zu liegen käme<ref name="Russel (1903) §§497–500">{{Quelle\|Russell (1903)}}, §§497–500</ref>		Die von Russell [[1903]] in seiner [[Typentheorie]] vorgeschlagene Lösung, Mengen abhängig von den darin enthaltenen Mengen hierarchisch in „Ebenen" anzuordnen, verhindert die Definition von <math>\mathcal{R}</math>. Es gibt keine Ebene, auf der <math>\mathcal{R}</math> zu liegen käme<ref name="Russel (1903) §§497–500">{{Quelle\|Russell (1903)}}, §§497–500</ref>
	Russell ging von einer Menge von Grundelementen aus, die der Stufe 0 der Typhierarchie zugeordnet sind.		Russell ging von einer Menge von Grundelementen aus, die der Stufe 0 der Typhierarchie zugeordnet sind.
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	==== {{Klasse}}n ====		==== {{Klasse}}n ====

	[[Datei:Container_mengenlehre.~~png~~\|mini\|250px\|Mengenuniversum, in dem zwischen ''Mengen'' und ''echten Klassen'' unterschieden wird; ''Mengen'' können als ''Individuen''		[[Datei:Container_mengenlehre.svg\|mini\|250px\|Mengenuniversum, in dem zwischen ''Mengen'' und ''echten Klassen'' unterschieden wird; ''Mengen'' können als ''Individuen''
	Elemente von beliebigen Klassen sein; für echte Klassen gilt dies dagegen nicht]]		Elemente von beliebigen Klassen sein; für echte Klassen gilt dies dagegen nicht]]
	[[Datei:~~Container_klassenlogik_rein~~.~~png~~\|mini\|250px\|Man kann auf {{iAllg}} auf echte Individuen verzichten. Die leere Menge und die Möglichkeit, damit andere Mengen zu bilden, reichen aus, beliebige Individuen zu repräsentieren]]		[[Datei:Container_klassenlogik_ohne_urelemente.svg\|mini\|250px\|Man kann auf {{iAllg}} auf echte Individuen verzichten. Die leere Menge und die Möglichkeit, damit andere Mengen zu bilden, reichen aus, beliebige Individuen zu repräsentieren]]
	Die modernere {{Klasse}}nlehre verhindert die Definition von <math>\mathcal{R}</math> nicht vollständig.		Die modernere {{Klasse}}nlehre verhindert die Definition von <math>\mathcal{R}</math> nicht vollständig.
	Sie verhindert allerdings, dass eine ''Menge'' <math>\mathcal{R}</math> definiert werden kann. <math>\mathcal{R}</math> wird hier als {{Unmenge}} oder ''echte Klasse'' bezeichnet.		Sie verhindert allerdings, dass eine ''Menge'' <math>\mathcal{R}</math> definiert werden kann. <math>\mathcal{R}</math> wird hier als {{Unmenge}} oder ''echte Klasse'' bezeichnet.