Verkettung von Funktionen - Versionsgeschichte

Kowa am 24. November 2017 um 13:47 Uhr

2017-11-24T13:47:30Z

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Zeile 8:		Zeile 8:
	==Voraussetzung==		==Voraussetzung==

	Es seien $f$ und $g$ zwei [[Funktion (mathematisch)\|Funktionen]] mit den		Es seien <math>f</math> und <math>g</math> zwei [[Funktion (mathematisch)\|Funktionen]] mit den
	[[Definitionsbereich]]en $D(f)$ und $D(g)$ und den [[Wertebereich]]en		[[Definitionsbereich]]en <math>D(f)</math> und <math>D(g)</math> und den [[Wertebereich]]en
	$W(f)$ und $W(g)$.		<math>W(f)</math> und <math>W(g)</math>.

	Es sei überdies die Wertemenge $f$ eine Teilmenge der		Es sei überdies die Wertemenge <math>f</math> eine Teilmenge der
	Definitionsmenge von $g$: $W(f) \subseteq D(g)$.		Definitionsmenge von <math>g</math>: <math>W(f) \subseteq D(g)</math>.

	==Definition==		==Definition==

	Die '''Verkettung''' $g \circ f$ der Funktionen $f$ und $g$		Die '''Verkettung''' <math>g \circ f</math> der Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>
	ist diejenige Funktion, die sich durch die Hintereinanderausführung von <math>f\!</math> und <math>g\!</math>		ist diejenige Funktion, die sich durch die Hintereinanderausführung von <math>f\!</math> und <math>g\!</math>
	ergibt:		ergibt:

	<div class="formula">$\forall x \in D(f): g \circ f(x) := g(f(x))$</div>		<div class="formula"><math>\forall x \in D(f): g \circ f(x) := g(f(x))</math></div>

	==Eigenschaften==		==Eigenschaften==
	Unter den gegebenen Voraussetzungen ist $g \circ f$ stets eine Funktion.		Unter den gegebenen Voraussetzungen ist <math>g \circ f</math> stets eine Funktion.

	Der Definitionsbereich $D(g \circ f)$ der Verkettung ist gleich dem Definitionsbereich $D(f)$ der Funktion $f$: $D(g \circ f) = D(f)$.		Der Definitionsbereich <math>D(g \circ f)</math> der Verkettung ist gleich dem Definitionsbereich <math>D(f)</math> der Funktion <math>f</math>: <math>D(g \circ f) = D(f)</math>.

	Der Wertebereich $W(g \circ f)$ der Verkettung ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des Wertebereichs		Der Wertebereich <math>W(g \circ f)</math> der Verkettung ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des Wertebereichs
	$W(g)$ der Funktion $g$: $W(g \circ f) = \{g(f(x))\ \|\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)$.		<math>W(g)</math> der Funktion <math>g</math>: <math>W(g \circ f) = \{g(f(x))\ \|\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)</math>.

	==Beweis==		==Beweis==

Kowa am 16. August 2016 um 08:32 Uhr

2016-08-16T08:32:48Z

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	==Quellen==		==Quellen==

	# {{Quelle\|Gellert, ~~Walter;~~ Kästner, ~~Herbert~~ (1979)~~: Lexikon der Mathematik~~}}		# {{Quelle\|Gellert, Kästner, Neuber (1979)}}
	# {{Quelle\|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}		# {{Quelle\|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}

	[[Kategorie:Mathematische Definition]]		[[Kategorie:Mathematische Definition]]
	[[Kategorie:Mathematischer Satz]]		[[Kategorie:Mathematischer Satz]]

Kowa: /* Voraussetzung */

2014-09-22T09:41:34Z

Voraussetzung

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	==Voraussetzung==		==Voraussetzung==

	Es seien ~~<math>~~f~~\!</math>~~ und ~~<math>~~g~~\!</math>~~ zwei [[Funktion (mathematisch)\|Funktionen]] mit den		Es seien $f$ und $g$ zwei [[Funktion (mathematisch)\|Funktionen]] mit den
	[[Definitionsbereich]]en ~~<math>~~D(f)~~\!</math>~~ und ~~<math>~~D(g)~~\!</math>~~ und den [[Wertebereich]]en		[[Definitionsbereich]]en $D(f)$ und $D(g)$ und den [[Wertebereich]]en
	$W(f)~~\!</math>~~ und ~~<math>~~W(g)$.		$W(f)$ und $W(g)$.

	Es sei überdies die Wertemenge $f$ eine Teilmenge der		Es sei überdies die Wertemenge $f$ eine Teilmenge der

Kowa am 22. September 2014 um 09:40 Uhr

2014-09-22T09:40:37Z

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	Es seien <math>f\!</math> und <math>g\!</math> zwei [[Funktion (mathematisch)\|Funktionen]] mit den		Es seien <math>f\!</math> und <math>g\!</math> zwei [[Funktion (mathematisch)\|Funktionen]] mit den
	[[Definitionsbereich]]en <math>D(f)\!</math> und <math>D(g)\!</math> und den [[Wertebereich]]en		[[Definitionsbereich]]en <math>D(f)\!</math> und <math>D(g)\!</math> und den [[Wertebereich]]en
	~~<math>~~W(f)\!</math> und <math>W(g)~~\!</math>~~.		$W(f)\!</math> und <math>W(g)$.

	Es sei überdies die Wertemenge ~~<math>~~f~~\!</math>~~ eine Teilmenge der		Es sei überdies die Wertemenge $f$ eine Teilmenge der
	Definitionsmenge von ~~<math>~~g~~</math>~~: ~~<math>~~W(f) \subseteq D(g)~~</math>~~.		Definitionsmenge von $g$: $W(f) \subseteq D(g)$.

	==Definition==		==Definition==

	Die '''Verkettung''' ~~<math>~~g \circ f~~\!</math>~~ der Funktionen ~~<math>~~f~~\!</math>~~ und ~~<math>~~g~~\!</math>~~		Die '''Verkettung''' $g \circ f$ der Funktionen $f$ und $g$
	ist diejenige Funktion, die sich durch die Hintereinanderausführung von <math>f\!</math> und <math>g\!</math>		ist diejenige Funktion, die sich durch die Hintereinanderausführung von <math>f\!</math> und <math>g\!</math>
	ergibt:		ergibt:
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	==Eigenschaften==		==Eigenschaften==
	Unter den gegebenen Voraussetzungen ist ~~<math>~~g \circ f~~\!</math>~~ stets eine Funktion.		Unter den gegebenen Voraussetzungen ist $g \circ f$ stets eine Funktion.

	Der Definitionsbereich ~~<math>~~D(g \circ f)~~\!</math>~~ der Verkettung ist gleich dem Definitionsbereich ~~<math>~~D(f)~~\!</math>~~ der Funktion ~~<math>~~f~~\!</math>~~: ~~<math>~~D(g \circ f) = D(f)~~\!</math>~~ .		Der Definitionsbereich $D(g \circ f)$ der Verkettung ist gleich dem Definitionsbereich $D(f)$ der Funktion $f$: $D(g \circ f) = D(f)$.

	Der Wertebereich ~~<math>~~W(g \circ f)~~\!</math>~~ der Verkettung ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des Wertebereichs		Der Wertebereich $W(g \circ f)$ der Verkettung ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des Wertebereichs
	~~<math>~~W(g)~~\!</math>~~ der Funktion ~~<math>~~g~~\!</math>~~: ~~<math>~~W(g \circ f) = \{g(f(x))\ \|\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)~~\!</math>~~.		$W(g)$ der Funktion $g$: $W(g \circ f) = \{g(f(x))\ \|\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)$.

	==Beweis==		==Beweis==

Kowa am 22. September 2014 um 09:38 Uhr

2014-09-22T09:38:04Z

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	\|conformance = 5		\|conformance = 5
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	=Voraussetzung=		==Voraussetzung==

	Es seien <math>f\!</math> und <math>g\!</math> zwei [[Funktion (mathematisch)\|Funktionen]] mit den		Es seien <math>f\!</math> und <math>g\!</math> zwei [[Funktion (mathematisch)\|Funktionen]] mit den
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	Es sei überdies die Wertemenge <math>f\!</math> eine Teilmenge der		Es sei überdies die Wertemenge <math>f\!</math> eine Teilmenge der
	Definitionsmenge von <math>g\!</math>: <math>W(f) \subseteq D(g)\!</math>.		Definitionsmenge von <math>g</math>: <math>W(f) \subseteq D(g)</math>.

	=Definition=		==Definition==

	Die '''Verkettung''' <math>g \circ f\!</math> der Funktionen <math>f\!</math> und <math>g\!</math>		Die '''Verkettung''' <math>g \circ f\!</math> der Funktionen <math>f\!</math> und <math>g\!</math>
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	ergibt:		ergibt:

	<~~math~~>\forall x \in D(f): g \circ f(x) := g(f(x))\!</~~math~~>.		<div class="formula">$\forall x \in D(f): g \circ f(x) := g(f(x))$</div>

	=Eigenschaften=		==Eigenschaften==
	Unter den gegebenen Voraussetzungen ist <math>g \circ f\!</math> stets eine Funktion.		Unter den gegebenen Voraussetzungen ist <math>g \circ f\!</math> stets eine Funktion.

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	<math>W(g)\!</math> der Funktion <math>g\!</math>: <math>W(g \circ f) = \{g(f(x))\ \|\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)\!</math>.		<math>W(g)\!</math> der Funktion <math>g\!</math>: <math>W(g \circ f) = \{g(f(x))\ \|\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)\!</math>.

	=Beweis=		==Beweis==

	fehlt noch		fehlt noch

	=Quellen=		==Quellen==

	# {{Quelle\|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}		# {{Quelle\|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}

Kowa: /* Quellen */

2011-09-14T14:41:34Z

Quellen

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	[[Kategorie:Mathematische Definition]]		[[Kategorie:Mathematische Definition]]
	[[Kategorie:Mathematischer Satz]]		[[Kategorie:Mathematischer Satz]]

	~~{{{{SITENAME}}-konformer Artikel}}~~

Kowa am 14. September 2011 um 14:40 Uhr

2011-09-14T14:40:58Z

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			{{Qualität
			\|correctness = 5
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	=Voraussetzung=		=Voraussetzung=

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	=Quellen=		=Quellen=

	* [[Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik]]		# {{Quelle\|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}
			# {{Quelle\|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}

	[[Kategorie:Mathematische Definition]]		[[Kategorie:Mathematische Definition]]

Kowa: /* Quellen */

2007-08-02T12:34:57Z

Quellen

← Nächstältere Version		Version vom 2. August 2007, 12:34 Uhr
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	Der Wertebereich <math>W(g \circ f)\!</math> der Verkettung ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des Wertebereichs		Der Wertebereich <math>W(g \circ f)\!</math> der Verkettung ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des Wertebereichs
	<math>W(g)\!</math> der Funktion <math>g\!</math>: <math>W(g \circ f) = \{g(f(x))\ \|\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)\!</math>.		<math>W(g)\!</math> der Funktion <math>g\!</math>: <math>W(g \circ f) = \{g(f(x))\ \|\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)\!</math>.

			=Beweis=

			fehlt noch

	=Quellen=		=Quellen=

Kowa: /* Quellen */

2007-08-02T12:33:47Z

Quellen

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	* [[Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik]]		* [[Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik]]

	[[Kategorie:~~Mathematik~~]]		[[Kategorie:Mathematische Definition]]
	[[Kategorie:Mathematischer Satz]]		[[Kategorie:Mathematischer Satz]]
	~~[[Kategorie:Glossar]]~~

	{{{{SITENAME}}-konformer Artikel}}		{{{{SITENAME}}-konformer Artikel}}

Kowa: /* Quellen */

2007-08-02T12:33:15Z

Quellen

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	=Quellen=		=Quellen=

	* ~~Autor des Beweises:~~ [[~~Benutzer~~:~~Kowa\|W. Kowarschick~~]]		* [[Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik]]

	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]