Algebraische Struktur

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Definition: Algebraische Struktur (ohne partielle Operationen)

Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt Algebraische Struktur (genauer: Algebraische Struktur ohne partielle Operationen, kurz Algebra), wenn:

• $ A\, $ ist eine nichtleere Menge
• Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine Algebraische Operation, d.h. eine Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.

Definition: Algebraische Struktur mit partiellen Operationen

Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt Algebraische Struktur mit partiellen Operationen, wenn:

• $ A\, $ ist eine nichtleere Menge.
• Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine (evtl. partielle) Algebraische Operation, d.h. eine (evtl. partielle) Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $ oder $ o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.

Definition: Algebraische Struktur mit partiellen internen und äußeren Operationen

Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt Algebraische Struktur mit partiellen internen und äußeren Operationen, wenn:

• $ A\, $ und $ B\, $ sind zwei nichtleere Mengen.
• Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine (evtl. partielle) Algebraische Operation, d.h. eine (evtl. partielle) Funktion $ o_i: A^{n_i}, B^{k_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i, k_i \in \mathbb{N}_0) $ oder $ o_i: A^{n_i}, B^{k_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i, k_i \in \mathbb{N}_0) $.

Bemerkungen

Die wesentliche Eigenschaft einer algebraischen Operation ist die Abgeschlossenheit: Jede algebraische Operation $ o_i\, $ einer algebraischen Struktur $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge $ A\, $ von $ \mathcal{A}\, $ wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.

Gellert, Kästner (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs Algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können. Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff Algebraische Struktur mit partiellen Operationen definiert.

Asser (1980) fordert, dass eine Algebraische Struktur auch Konstanten ($ \in A $) und Relationen über $ A $ (d.h. Teilmengen von $ A^n $, wobei $ n \in \mathbb{N} $) enthalten darf. Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen $ f: A^0 \rightarrow A $ als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen

$ r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2) $

oder partielle Funktionen

$ r: A^n \rightarrow_p \{a\}\,\,\,(a \in A) $

nachgebildet werden können.

Meyberg (1980) dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge $ A $ auf Elemente der Grundmenge $ A $ abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:

$ f: B^m, A^n \rightarrow A\,\,\,(m_i,n_i\in \mathbb{N}_0) $

Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss $ n=2 $ gelten und bei äußeren $ m=n=2 $.

Beispiele

• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $.
• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation keine algebraische Struktur, sondern nur eine algebraische Struktur mit einer partiellen Operation: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $, da die Subtraktion ist lediglich eine partielle algebraische Operation ist.

Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen

• Magma
  • Halbgruppe
    • Monoid
      • Gruppe
        • Abelsche Gruppe = Kommunikative Gruppe
  • Quasigruppe
    • Loop
      • Gruppe
        • Abelsche Gruppe = Kommunikative Gruppe
• Halbring
  • Ring
    • Kommutativer Ring
      • Körper
• Verband
  • Modularer Verband
    • Distributiver Verband
      • Komplementärer Distributiver Verband = Boolesche Algebra
        • Boolesche σ-Algebra
      • Ereignisalgebra = Mengenalgebra
        • σ-Algebra
• Hyperkomplexes System = Algebra über einen Ring (oft auch nur: Algebra)
  • Vektorraum
• Relationale Algebra

Quellen

4. Brockhaus (1986, A-APT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 1, A-APT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1101-4; 1986; Quellengüte: 5 (Buch)