Algebraische Struktur: Unterschied zwischen den Versionen

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=Definition: Algebraische Struktur=


Ein [[Tupel]] <math>\mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m)</math> heißt [[Algebraische Struktur|Algebraische Struktur ohne partielle Operationen]] oder  
Ein [[Paar (Mathematik)|Paar]] <math>\mathcal{A} = (A, ((o_i, B_i)))</math> heißt [[Algebraische Struktur]] oder  
[[Algebraische Struktur|Universelle Algebra]], wenn:
[[Algebraische Struktur|Universelle Algebra]], wenn:


* <math>A\,</math> ist eine nichtleere [[Menge]]
* <math>A</math> ist eine [[Menge]] oder [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]], die so genannte '''Trägermenge'''
* Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine [[Algebraische Operation]], d.h. eine [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math>.
* <math>(o_i)</math> ist eine [[Familie]] von [[algebraische Operation]]en, d.h. eine Familie [[Funktion]] <math>o_i: B^{m_i} \times A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(m_i, n_i\in \mathbb{N}_0)</math>.
 
=Definition: Algebraische Struktur mit partiellen Operationen=
 
Ein [[Tupel]] <math>\mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m)</math> heißt '''Algebraische Struktur mit partiellen Operationen''', wenn:
 
* <math>A\,</math> ist eine nichtleere [[Menge]].
* Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine (evtl. [[Partielle Funktion|partielle]]) [[Algebraische Operation]], d.h. eine (evtl. partielle) [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math>.
 
=Definition: Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen=
 
Ein [[Tupel]] <math>\mathcal{A} = (A, B, o_1, ..., o_m)</math> heißt '''Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen''', wenn:
 
* <math>A\,</math> und <math>B\,</math> sind zwei nichtleere [[Menge]]n.
* Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine (evtl. [[Partielle Funktion|partielle]]) [[Algebraische Operation|innere oder äußere Algebraische Operation]], d.h. eine (evtl. partielle) [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i} \times B^{k_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i, k_i \in \mathbb{N}_0)</math>. Wenn <math>k_i = 0</math> ist, heißt <math>o_i</math> ''innere Operation'', anderenfalls heißt <math>o_i</math> ''äußere Operation''.


=Bemerkungen=
=Bemerkungen=
An Stelle von [[Algebraische Struktur]] sagt man häufig kur [[Algebraische Struktur|Algebra]].
An Stelle von [[Algebraische Struktur]] sagt man häufig kurz [[Algebraische Struktur|Algebra]].
 
Die wesentliche Eigenschaft einer [[algebraische Operation|algebraischen Operation]] ist die [[Abgeschlossenheit]]:
Jede algebraische Operation <math>o_i\,</math> einer [[algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] <math>\mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m)</math>
bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge <math>A\,</math> von <math>\mathcal{A}\,</math> wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.


[[Quelle::Gellert, Kästner (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[Algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein können.  
[[Quelle::Gellert, Kästner (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[Algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein können.  

Version vom 7. August 2012, 17:51 Uhr

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Definition: Algebraische Struktur

Ein Paar $ \mathcal{A} = (A, ((o_i, B_i))) $ heißt Algebraische Struktur oder Universelle Algebra, wenn:

Bemerkungen

An Stelle von Algebraische Struktur sagt man häufig kurz Algebra.

Gellert, Kästner (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs Algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können. Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff Algebraische Struktur mit partiellen Operationen definiert.[1]

Asser (1980) fordert, dass eine Algebraische Struktur auch Konstanten ($ \in A $) und Relationen über $ A $ (d.h. Teilmengen von $ A^n $, wobei $ n \in \mathbb{N} $) enthalten darf.[2] Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen $ f: A^0 \rightarrow A $ als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen

$ r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2) $

oder partielle Funktionen

$ r: A^n \rightarrow_p \{a\}\,\,\,(a \in A) $

nachgebildet werden können.

Meyberg (1980) dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge $ A $ auf Elemente der Grundmenge $ A $ abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:

$ f: B^m, A^n \rightarrow A\,\,\,(m_i,n_i\in \mathbb{N}_0) $

Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen definiert. Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss $ n=2 $ gelten und bei äußeren $ m=n=1 $.[3]

Beispiele

Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen

Quellen

  1. ↑
  2. ↑ Asser (1980): Günter Asser; Grundbegriffe der Mathematik – I. Mengen. Abbildungen. Natürliche Zahlen; Auflage: 4; Verlag: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften; Adresse: Berlin; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. ↑ Meyberg (1980): Kurt Meyberg; Algebra – Teil 1; Auflage: 2; Verlag: Carl Hanser Verlag; Adresse: München, Wien; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
  1. Brockhaus (1986, A-APT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 1, A-APT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1101-4; 1986; Quellengüte: 5 (Buch)
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