Algebraische Struktur: Unterschied zwischen den Versionen

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An Stelle von [[Algebraische Struktur]] sagt man häufig kurz [[Algebraische Struktur|Algebra]].
An Stelle von [[Algebraische Struktur]] sagt man häufig kurz [[Algebraische Struktur|Algebra]].


[[Quelle::Gellert, Kästner (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[Algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein können.
[[Quelle::Gellert, Kästner (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[Algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein  
Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff '''Algebraische Struktur mit partiellen Operationen''' definiert.<ref>{{Quelle|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}</ref>
können.<ref>{{Quelle|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}</ref>
Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes [[Algebraische Oprenration]] automatisch gegeben.


[[Quelle::Asser (1980)]] fordert, dass eine Algebraische Struktur auch [[Konstante]]n (<math>\in A</math>) und [[Relation]]en über <math>A</math>
[[Quelle::Asser (1980)]] fordert, dass eine Algebraische Struktur auch [[Konstante]]n (<math>\in A</math>) und [[Relation]]en über <math>A</math>
(d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, wobei <math>n \in  \mathbb{N}</math>) enthalten darf.<ref>{{Quelle|Asser, G. (1980): Grundbegriffe der Mathematik}}</ref>
(d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, <math>n \in  \mathbb{N}</math>) enthalten darf.<ref>{{Quelle|Asser, G. (1980): Grundbegriffe der Mathematik}}</ref>
Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen <math>f: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und  
Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen <math>f: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und  
auch Relationen durch Funktionen  
auch Relationen durch Funktionen  
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[[Quelle::Meyberg (1980)]] dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math>
[[Quelle::Meyberg (1980)]] dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math>
auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:  
auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:  
<div class="formula"><math>f: B^m, A^n \rightarrow A\,\,\,(m_i,n_i\in \mathbb{N}_0)</math></div>
<div class="formula"><math>f: B \times A \rightarrow A)</math></div>.<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref>
Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff '''Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen''' definiert.
Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes [[Algebraische Oprenration]] ebenfalls enthalten.
Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss <math>n=2</math> gelten und bei äußeren  <math>m=n=1</math>.<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref>


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Version vom 8. August 2012, 13:31 Uhr

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Definition: Algebraische Struktur

Ein Paar $ \mathcal{A} = (A, (o_i)_{i \in I}) $ heißt Algebraische Struktur oder Universelle Algebra, wenn:

Die Funktionen $ f_i $ der algebraischen Struktur sind also $ n_i $-stellige algebraischer Operationen über der Tägermenge $ A $ mit dem Operationsbereich $ B_i $:

$ \begin{tabular}{lll} $f_i: A^{n_i} \rightarrow A,$ & $\text{falls }B_i = \emptyset$ \\ $f_i: B_i \times A^{n_i} \rightarrow A,$ & $\text{falls }B_i \not= \emptyset$ \end{tabular} $

Bemerkungen

An Stelle von Algebraische Struktur sagt man häufig kurz Algebra.

Gellert, Kästner (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs Algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können.[1] Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes Algebraische Oprenration automatisch gegeben.

Asser (1980) fordert, dass eine Algebraische Struktur auch Konstanten ($ \in A $) und Relationen über $ A $ (d.h. Teilmengen von $ A^n $, $ n \in \mathbb{N} $) enthalten darf.[2] Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen $ f: A^0 \rightarrow A $ als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen

$ r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2) $

oder partielle Funktionen

$ r: A^n \rightarrow_p \{a\}\,\,\,(a \in A) $

nachgebildet werden können.

Meyberg (1980) dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge $ A $ auf Elemente der Grundmenge $ A $ abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:

$ f: B \times A \rightarrow A) $

.[3]

Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes Algebraische Oprenration ebenfalls enthalten.

Beispiele

Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen

Quellen

  1. ↑
  2. ↑ Asser (1980): Günter Asser; Grundbegriffe der Mathematik – I. Mengen. Abbildungen. Natürliche Zahlen; Auflage: 4; Verlag: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften; Adresse: Berlin; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. ↑ Meyberg (1980): Kurt Meyberg; Algebra – Teil 1; Auflage: 2; Verlag: Carl Hanser Verlag; Adresse: München, Wien; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
  1. Brockhaus (1986, A-APT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 1, A-APT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1101-4; 1986; Quellengüte: 5 (Buch)
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