Algebraische Struktur: Unterschied zwischen den Versionen

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=Definition: Algebraische Struktur (ohne partielle Operationen)=
==Definition: Algebraische Struktur ([[Wolfgang Kowarschick]])==


Ein [[Tupel]] <math>\mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m)</math> heißt [[Algebraische Struktur]] (genauer: [[Algebraische Struktur|Algebraische Struktur ohne partielle Operationen]], kurz [[Algebra]]), wenn:
Ein [[Geordnetes Paar|Paar]] <math>\mathcal{A} = (A, (d_i)_{i \in I})</math>
heißt [[Algebraische Struktur]] oder [[Algebraische Struktur|Universelle Algebra]], wenn:


* <math>A\,</math> ist eine nichtleere [[Menge]]
* <math>A</math> ist eine {{Menge}} oder {{Klasse}}, die so genannte [[Trägermenge]]
* Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine [[Algebraische Operation]], d.h. eine [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math>.
* <math>I</math> ist eine nicht-leere Indexmenge
* <math>(d_i)_{i \in I}</math> ist eine [[Familie]] von [[algebraische Operation|Deskriptoren algebraischer Operationen]]<br/>mit <math>d_i = (o_i, A, n_i, B_i)</math> für alle <math>i \in I</math>.


=Definition: Algebraische Struktur mit partiellen Operationen=
Die Funktionen <math>o_i</math> der algebraischen Struktur sind also <math>n_i</math>-stellige [[algebraische Operation|algebraischer Operationen]] über der Tägermenge <math>A</math> mit dem Operationsbereich <math>B_i</math>:
<div class="formula">
{|
|-
|  <math>o_i: A^{n_i} \rightharpoonup A,</math>            || <math>\text{falls }B_i = \emptyset</math>
|-
|  <math>o_i: B_i \times A^{n_i} \rightharpoonup A,</math> || <math>\text{falls }B_i \not= \emptyset</math>
|}
</div>


Ein [[Tupel]] <math>\mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m)</math> heißt '''Algebraische Struktur mit partiellen Operationen''', wenn:
An Stelle von [[Algebraische Struktur]] sagt man häufig kurz [[Algebraische Struktur|Algebra]].


* <math>A\,</math> ist eine nichtleere [[Menge]].
==Alternative Schreibweise==
* Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine (evtl. [[Partielle Funktion|partielle]]) [[Algebraische Operation]], d.h. eine (evtl. partielle) [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math> oder <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math>.


=Definition: Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen=
Die Indexmenge <math>\mathcal{I}</math> ist sehr oft eine Menge von natürlichen Zahlen <math>\{1,\ldots,k\}</math>. In diesem Fall notiert man
eine [[algebraische Struktur]] i. Allg. nicht mit Hilfe einer Familie, sondern durch explizite Aufzählung.
Beispielsweise wird eine Algebra
<div class="formula"><math>(A, \{(1, (o_1, A, n_1, \emptyset)), (2, (o_2, A, n_2, B_2))\})</math></div>
normalerweise folgendermaßen notiert, wobei jeweils auch noch abgegeben wird, ob es sich um eine (echt-)partielle oder eine totale Funktion handelt:
<div class="formula"><math>(A, o_1, o_2)</math>, wobei <math>o_1: A^{n_1} \rightharpoonup A</math> und <math>o_2: B_2 \times A^{n_2} \rightarrow A</math></div>


Ein [[Tupel]] <math>\mathcal{A} = (A, B, o_1, ..., o_m)</math> heißt '''Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen''', wenn:
==Beispiele==


* <math>A\,</math> und <math>B\,</math> sind zwei nichtleere [[Menge]]n.
* Die [[natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur, ein so genanntes [[Monoid]], bei der alle algebraischen Operationen total sind:  <math>(\mathbb{N}, +, \cdot)</math>, wobei <math>+:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}</math> und <math>\cdot:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}</math>.
* Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine (evtl. [[Partielle Funktion|partielle]]) [[Algebraische Operation]], d.h. eine (evtl. partielle) [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i}, B^{k_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i, k_i \in \mathbb{N}_0)</math>. Wenn <math>k_i = 0</math> ist, heißt <math>o_i</math> ''innere Operation'', anderenfalls heißt <math>o_i</math> ''äußere Operation''.
* Die [[Ordinalzahlen]] bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation ebenfalls ein so genanntes [[Monoid]], bei der alle algebraischen Operationen total sind:  <math>(\Omega, +, \cdot)</math>, wobei <math>+:\Omega^2 \rightarrow \Omega</math> und <math>\cdot:\Omega^2 \rightarrow \Omega</math>.
* Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine [[algebraische Struktur]] mit einer echt-patiellen algebraischen Operation:  <math>(\mathbb{N}, +, -, \cdot)</math>, die Subtraktion ist lediglich eine [[partielle algebraische Operation]]:  <math>-:\mathbb{N}^2 \rightharpoonup \mathbb{N}</math>.
* Für eine [[Relationale Algebra]] sind i. Allg. abzählbar viele algebraische Operationen definiert.


=Bemerkungen=
==Verschiedene Typen algebraischer Strukturen==
Die wesentliche Eigenschaft einer [[algebraische Operation|algebraischen Operation]] ist die [[Abgeschlossenheit]]:
Jede algebraische Operation <math>o_i\,</math> einer [[algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] <math>\mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m)</math>
bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge <math>A\,</math> von <math>\mathcal{A}\,</math> wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.
 
[[Quelle::Gellert, Kästner (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[Algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein können.
Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff '''Algebraische Struktur mit partiellen Operationen''' definiert.<ref>{{Quelle|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}</ref>
 
[[Quelle::Asser (1980)]] fordert, dass eine Algebraische Struktur auch [[Konstante]]n (<math>\in A</math>) und [[Relation]]en über <math>A</math>
(d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, wobei <math>n \in  \mathbb{N}</math>) enthalten darf.<ref>{{Quelle|Asser, G. (1980): Grundbegriffe der Mathematik}}</ref>
Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen <math>f: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und
auch Relationen durch Funktionen
<div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2)</math></div>
oder partielle Funktionen
<div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow_p \{a\}\,\,\,(a \in A)</math></div>
nachgebildet werden können.
 
[[Quelle::Meyberg (1980)]] dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math>
auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:
<div class="formula"><math>f: B^m, A^n \rightarrow A\,\,\,(m_i,n_i\in \mathbb{N}_0)</math></div>
Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss <math>n=2</math> gelten und bei äußeren  <math>m=n=2</math>.<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref>
 
=Beispiele=
 
* Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur:  <math>(\mathbb{N}, +, \cdot)</math>.
* Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation keine [[algebraische Struktur]], sondern nur eine [[algebraische Struktur|algebraische Struktur mit einer partiellen Operation]]:  <math>(\mathbb{N}, +, -, \cdot)</math>, da die Subtraktion ist lediglich eine [[partielle algebraische Operation]] ist.
 
=Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen=


* [[Universelle Algebra]] ([[Kategorientheorie]])
* [[Homologische Algebra]]
* [[Magma]]
* [[Magma]]
** [[Halbgruppe]]
** [[Halbgruppe]]
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* [[Relationale Algebra]]
* [[Relationale Algebra]]


=Quellen=
==Anmerkungen==
[[Gellert, Kästner, Neuber (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein
können.<ref>{{Quelle|Gellert, Kästner, Neuber (1979)}}</ref>
Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes [[Algebraische Operation]] automatisch gegeben.
 
[[Asser (1980)]] fordert, dass eine algebraische Struktur auch [[Konstante]]n (<math>\in A</math>) und [[Relation]]en über <math>A</math>
(d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, <math>n \in  \mathbb{N}</math>) enthalten darf.<ref>{{Quelle|Asser (1980)}}</ref>
Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen <math>k: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und
auch Relationen durch Funktionen
<div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2)</math></div>
oder partielle Funktionen
<div class="formula"><math>r: A^n \rightharpoonup \{a\}\,\,\,(a \in A)</math></div>
nachgebildet werden können.
 
[[Meyberg (1980)]] definiert algebraische Strukturen allgemeiner als Gellert und Kästner sowie als Asser. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math>
auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:<ref>{{Quelle|Meyberg (1980)}}</ref>
<div class="formula"><math>o: B \times A \rightarrow A</math></div>
Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes [[algebraische Operation]] ebenfalls enthalten.
 
==Quellen==
<references/>
<references/>
<ol>
<ol>
<li value="4">{{Quelle|Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-APT)}}</li>
<li value="4">{{Quelle|Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-APT)}}</li>
</ol>
</ol>
{{TBD|Universal Algebra, George Grätzer}}


[[Kategorie:Algebraische Struktur]]
[[Kategorie:Algebraische Struktur]]
[[Kategorie:Mathematische Definition]]
[[Kategorie:Mathematische Definition]]

Version vom 14. Mai 2018, 16:21 Uhr

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(ausgezeichnet)

Definition: Algebraische Struktur (Wolfgang Kowarschick)

Ein Paar $ \mathcal{A} = (A, (d_i)_{i \in I}) $ heißt Algebraische Struktur oder Universelle Algebra, wenn:

Die Funktionen $ o_i $ der algebraischen Struktur sind also $ n_i $-stellige algebraischer Operationen über der Tägermenge $ A $ mit dem Operationsbereich $ B_i $:

$ o_i: A^{n_i} \rightharpoonup A, $ $ \text{falls }B_i = \emptyset $
$ o_i: B_i \times A^{n_i} \rightharpoonup A, $ $ \text{falls }B_i \not= \emptyset $

An Stelle von Algebraische Struktur sagt man häufig kurz Algebra.

Alternative Schreibweise

Die Indexmenge $ \mathcal{I} $ ist sehr oft eine Menge von natürlichen Zahlen $ \{1,\ldots,k\} $. In diesem Fall notiert man eine algebraische Struktur i. Allg. nicht mit Hilfe einer Familie, sondern durch explizite Aufzählung. Beispielsweise wird eine Algebra

$ (A, \{(1, (o_1, A, n_1, \emptyset)), (2, (o_2, A, n_2, B_2))\}) $

normalerweise folgendermaßen notiert, wobei jeweils auch noch abgegeben wird, ob es sich um eine (echt-)partielle oder eine totale Funktion handelt:

$ (A, o_1, o_2) $, wobei $ o_1: A^{n_1} \rightharpoonup A $ und $ o_2: B_2 \times A^{n_2} \rightarrow A $

Beispiele

  • Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur, ein so genanntes Monoid, bei der alle algebraischen Operationen total sind: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $, wobei $ +:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N} $ und $ \cdot:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N} $.
  • Die Ordinalzahlen bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation ebenfalls ein so genanntes Monoid, bei der alle algebraischen Operationen total sind: $ (\Omega, +, \cdot) $, wobei $ +:\Omega^2 \rightarrow \Omega $ und $ \cdot:\Omega^2 \rightarrow \Omega $.
  • Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine algebraische Struktur mit einer echt-patiellen algebraischen Operation: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $, die Subtraktion ist lediglich eine partielle algebraische Operation: $ -:\mathbb{N}^2 \rightharpoonup \mathbb{N} $.
  • Für eine Relationale Algebra sind i. Allg. abzählbar viele algebraische Operationen definiert.

Verschiedene Typen algebraischer Strukturen

Anmerkungen

Gellert, Kästner, Neuber (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können.[1] Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes Algebraische Operation automatisch gegeben.

Asser (1980) fordert, dass eine algebraische Struktur auch Konstanten ($ \in A $) und Relationen über $ A $ (d.h. Teilmengen von $ A^n $, $ n \in \mathbb{N} $) enthalten darf.[2] Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen $ k: A^0 \rightarrow A $ als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen

$ r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2) $

oder partielle Funktionen

$ r: A^n \rightharpoonup \{a\}\,\,\,(a \in A) $

nachgebildet werden können.

Meyberg (1980) definiert algebraische Strukturen allgemeiner als Gellert und Kästner sowie als Asser. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge $ A $ auf Elemente der Grundmenge $ A $ abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:[3]

$ o: B \times A \rightarrow A $

Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes algebraische Operation ebenfalls enthalten.

Quellen

  1. ↑ Gellert, Kästner, Neuber (1979): Lexikon der Mathematik; Hrsg.: Walter Gellert, Herbert Kästner und Siegfried Neuber; Auflage: 2; Verlag: VEB Bibliographisches Institut Leipzig; Adresse: Leipzig; 1979; Quellengüte: 5 (Buch)
  2. ↑ Asser (1980): Günter Asser; Grundbegriffe der Mathematik – I. Mengen. Abbildungen. Natürliche Zahlen; Auflage: 4; Verlag: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften; Adresse: Berlin; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. ↑ Meyberg (1980): Kurt Meyberg; Algebra – Teil 1; Auflage: 2; Verlag: Carl Hanser Verlag; Adresse: München, Wien; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
  1. Brockhaus (1986, A-APT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 1, A-APT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1101-4; 1986; Quellengüte: 5 (Buch)

TO BE DONE

Universal Algebra, George Grätzer
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