Algebraische Struktur: Unterschied zwischen den Versionen

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=Definition: Algebraische Struktur=
==Definition: Algebraische Struktur ([[Wolfgang Kowarschick]])==


Ein [[Paar (Mathematik)|Paar]] <math>\mathcal{A} = (A, (d_i)_{i \in I})</math>
Ein [[Geordnetes Paar|Paar]] <math>\mathcal{A} = (A, (d_i)_{i \in I})</math>
heißt [[Algebraische Struktur]] oder [[Algebraische Struktur|Universelle Algebra]], wenn:
heißt [[Algebraische Struktur]] oder [[Algebraische Struktur|Universelle Algebra]], wenn:


* <math>A</math> ist eine [[Menge]] oder [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]], die so genannte [[Trägermenge]]
* <math>A</math> ist eine {{Menge}} oder {{Klasse}}, die so genannte [[Trägermenge]]
* <math>I</math> ist eine nicht-leere Indexmenge
* <math>I</math> ist eine nicht-leere Indexmenge
* <math>(d_i)_{i \in I}</math> ist eine [[Familie]] von [[algebraische Operation|Deskriptoren algebraischer Operationen]]<br/>mit <math>d_i = (o_i, A, n_i, B_i)</math> für alle <math>i \in I</math>.
* <math>(d_i)_{i \in I}</math> ist eine [[Familie]] von [[algebraische Operation|Deskriptoren algebraischer Operationen]]<br/>mit <math>d_i = (o_i, A, n_i, B_i)</math> für alle <math>i \in I</math>.


Die Funktionen <math>o_i</math> der algebraischen Struktur sind also <math>n_i</math>-stellige [[algebraische Operation|algebraischer Operationen]] über der Tägermenge <math>A</math> mit dem Operationsbereich <math>B_i</math>:
Die Funktionen <math>o_i</math> der algebraischen Struktur sind also <math>n_i</math>-stellige [[algebraische Operation|algebraischer Operationen]] über der Tägermenge <math>A</math> mit dem Operationsbereich <math>B_i</math>:
<div class="formula"><math>\begin{tabular}{lll}
<div class="formula">
  $o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A,$           & $\text{falls }B_i = \emptyset$      \\
{|
  $o_i: B_i \times A^{n_i} \rightarrow_p A,$ & $\text{falls }B_i \not= \emptyset$
|-
\end{tabular}</math></div>
|  <math>o_i: A^{n_i} \rightharpoonup A,</math>           || <math>\text{falls }B_i = \emptyset</math>
|-
|  <math>o_i: B_i \times A^{n_i} \rightharpoonup A,</math> || <math>\text{falls }B_i \not= \emptyset</math>
|}
</div>


=Bemerkungen=
An Stelle von [[Algebraische Struktur]] sagt man häufig kurz [[Algebraische Struktur|Algebra]].
An Stelle von [[Algebraische Struktur]] sagt man häufig kurz [[Algebraische Struktur|Algebra]].


[[Quelle::Gellert, Kästner (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein
==Alternative Schreibweise==
können.<ref>{{Quelle|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}</ref>
Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes [[Algebraische Oprenration]] automatisch gegeben.
 
[[Quelle::Asser (1980)]] fordert, dass eine algebraische Struktur auch [[Konstante]]n (<math>\in A</math>) und [[Relation]]en über <math>A</math>
(d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, <math>n \in  \mathbb{N}</math>) enthalten darf.<ref>{{Quelle|Asser, G. (1980): Grundbegriffe der Mathematik}}</ref>
Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen <math>k: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und
auch Relationen durch Funktionen
<div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2)</math></div>
oder partielle Funktionen
<div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow_p \{a\}\,\,\,(a \in A)</math></div>
nachgebildet werden können.
 
[[Quelle::Meyberg (1980)]] dagegen definiert algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math>
auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref>
<div class="formula"><math>o: B \times A \rightarrow A</math></div>
Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes [[algebraische Operation]] ebenfalls enthalten.
 
=Alternative Schreibweise=


Die Indexmenge <math>\mathcal{I}</math> ist sehr oft eine Menge von natürlichen Zahlen <math>\{1,\ldots,k\}</math>. In diesem Fall notiert man  
Die Indexmenge <math>\mathcal{I}</math> ist sehr oft eine Menge von natürlichen Zahlen <math>\{1,\ldots,k\}</math>. In diesem Fall notiert man  
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Beispielsweise wird eine Algebra
Beispielsweise wird eine Algebra
<div class="formula"><math>(A, \{(1, (o_1, A, n_1, \emptyset)), (2, (o_2, A, n_2, B_2))\})</math></div>
<div class="formula"><math>(A, \{(1, (o_1, A, n_1, \emptyset)), (2, (o_2, A, n_2, B_2))\})</math></div>
normalerweise folgendermaßen notiert, wobei jeweils auch noch abgegeben wir, ob es sich um eine (echt-)partielle oder eine totale Funktion handelt:
normalerweise folgendermaßen notiert, wobei jeweils auch noch abgegeben wird, ob es sich um eine (echt-)partielle oder eine totale Funktion handelt:
<div class="formula"><math>(A, o_1, o_2)</math>, wobei <math>o_1: A^{n_1} \rightarrow_p A</math> und <math>o_2: B_2 \times A^{n_2} \rightarrow A</math></div>
<div class="formula"><math>(A, o_1, o_2)</math>, wobei <math>o_1: A^{n_1} \rightharpoonup A</math> und <math>o_2: B_2 \times A^{n_2} \rightarrow A</math></div>


=Beispiele=
==Beispiele==


* Die [[natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur, ein so genanntes [[Monoid]], bei der alle algebraischen Operationen total sind:  <math>(\mathbb{N}, +, \cdot)</math>.
* Die [[natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur, ein so genanntes [[Monoid]], bei der alle algebraischen Operationen total sind:  <math>(\mathbb{N}, +, \cdot)</math>, wobei <math>+:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}</math> und <math>\cdot:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}</math>.
* Die [[Ordinalzahlen]] bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation ebenfalls ein so genanntes [[Monoid]], bei der alle algebraischen Operationen total sind:  <math>(\Omega, +, \cdot)</math>.
* Die [[Ordinalzahlen]] bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation ebenfalls ein so genanntes [[Monoid]], bei der alle algebraischen Operationen total sind:  <math>(\Omega, +, \cdot)</math>, wobei <math>+:\Omega^2 \rightarrow \Omega</math> und <math>\cdot:\Omega^2 \rightarrow \Omega</math>.
* Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine [[algebraische Struktur]] mit einer echt-patiellen algebraischen Operation:  <math>(\mathbb{N}, +, -, \cdot)</math>, die Subtraktion ist lediglich eine [[partielle algebraische Operation]].
* Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine [[algebraische Struktur]] mit einer echt-patiellen algebraischen Operation:  <math>(\mathbb{N}, +, -, \cdot)</math>, die Subtraktion ist lediglich eine [[partielle algebraische Operation]]:  <math>-:\mathbb{N}^2 \rightharpoonup \mathbb{N}</math>.
* Für eine [[Relationale Algebra]] sind i. Allg. abzählbar viele algebraische Operationen definiert.


=Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen=
==Verschiedene Typen algebraischer Strukturen==


* [[Universelle Algebra]] ([[Kategorientheorie]])
* [[Homologische Algebra]]
* [[Magma]]
* [[Magma]]
** [[Halbgruppe]]
** [[Halbgruppe]]
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* [[Relationale Algebra]]
* [[Relationale Algebra]]


=Quellen=
==Anmerkungen==
[[Gellert, Kästner, Neuber (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein
können.<ref>{{Quelle|Gellert, Kästner, Neuber (1979)}}</ref>
Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes [[Algebraische Operation]] automatisch gegeben.
 
[[Asser (1980)]] fordert, dass eine algebraische Struktur auch [[Konstante]]n (<math>\in A</math>) und [[Relation]]en über <math>A</math>
(d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, <math>n \in  \mathbb{N}</math>) enthalten darf.<ref>{{Quelle|Asser (1980)}}</ref>
Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen <math>k: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und
auch Relationen durch Funktionen
<div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2)</math></div>
oder partielle Funktionen
<div class="formula"><math>r: A^n \rightharpoonup \{a\}\,\,\,(a \in A)</math></div>
nachgebildet werden können.
 
[[Meyberg (1980)]] definiert algebraische Strukturen allgemeiner als Gellert und Kästner sowie als Asser. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math>
auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:<ref>{{Quelle|Meyberg (1980)}}</ref>
<div class="formula"><math>o: B \times A \rightarrow A</math></div>
Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes [[algebraische Operation]] ebenfalls enthalten.
 
==Quellen==
<references/>
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<ol>
<ol>
<li value="4">{{Quelle|Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-APT)}}</li>
<li value="4">{{Quelle|Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-APT)}}</li>
</ol>
</ol>
{{TBD|Universal Algebra, George Grätzer}}


[[Kategorie:Algebraische Struktur]]
[[Kategorie:Algebraische Struktur]]
[[Kategorie:Mathematische Definition]]
[[Kategorie:Mathematische Definition]]

Version vom 14. Mai 2018, 16:21 Uhr

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(ausgezeichnet)

Definition: Algebraische Struktur (Wolfgang Kowarschick)

Ein Paar $ \mathcal{A} = (A, (d_i)_{i \in I}) $ heißt Algebraische Struktur oder Universelle Algebra, wenn:

Die Funktionen $ o_i $ der algebraischen Struktur sind also $ n_i $-stellige algebraischer Operationen über der Tägermenge $ A $ mit dem Operationsbereich $ B_i $:

$ o_i: A^{n_i} \rightharpoonup A, $ $ \text{falls }B_i = \emptyset $
$ o_i: B_i \times A^{n_i} \rightharpoonup A, $ $ \text{falls }B_i \not= \emptyset $

An Stelle von Algebraische Struktur sagt man häufig kurz Algebra.

Alternative Schreibweise

Die Indexmenge $ \mathcal{I} $ ist sehr oft eine Menge von natürlichen Zahlen $ \{1,\ldots,k\} $. In diesem Fall notiert man eine algebraische Struktur i. Allg. nicht mit Hilfe einer Familie, sondern durch explizite Aufzählung. Beispielsweise wird eine Algebra

$ (A, \{(1, (o_1, A, n_1, \emptyset)), (2, (o_2, A, n_2, B_2))\}) $

normalerweise folgendermaßen notiert, wobei jeweils auch noch abgegeben wird, ob es sich um eine (echt-)partielle oder eine totale Funktion handelt:

$ (A, o_1, o_2) $, wobei $ o_1: A^{n_1} \rightharpoonup A $ und $ o_2: B_2 \times A^{n_2} \rightarrow A $

Beispiele

  • Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur, ein so genanntes Monoid, bei der alle algebraischen Operationen total sind: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $, wobei $ +:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N} $ und $ \cdot:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N} $.
  • Die Ordinalzahlen bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation ebenfalls ein so genanntes Monoid, bei der alle algebraischen Operationen total sind: $ (\Omega, +, \cdot) $, wobei $ +:\Omega^2 \rightarrow \Omega $ und $ \cdot:\Omega^2 \rightarrow \Omega $.
  • Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine algebraische Struktur mit einer echt-patiellen algebraischen Operation: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $, die Subtraktion ist lediglich eine partielle algebraische Operation: $ -:\mathbb{N}^2 \rightharpoonup \mathbb{N} $.
  • Für eine Relationale Algebra sind i. Allg. abzählbar viele algebraische Operationen definiert.

Verschiedene Typen algebraischer Strukturen

Anmerkungen

Gellert, Kästner, Neuber (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können.[1] Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes Algebraische Operation automatisch gegeben.

Asser (1980) fordert, dass eine algebraische Struktur auch Konstanten ($ \in A $) und Relationen über $ A $ (d.h. Teilmengen von $ A^n $, $ n \in \mathbb{N} $) enthalten darf.[2] Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen $ k: A^0 \rightarrow A $ als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen

$ r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2) $

oder partielle Funktionen

$ r: A^n \rightharpoonup \{a\}\,\,\,(a \in A) $

nachgebildet werden können.

Meyberg (1980) definiert algebraische Strukturen allgemeiner als Gellert und Kästner sowie als Asser. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge $ A $ auf Elemente der Grundmenge $ A $ abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:[3]

$ o: B \times A \rightarrow A $

Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes algebraische Operation ebenfalls enthalten.

Quellen

  1. ↑ Gellert, Kästner, Neuber (1979): Lexikon der Mathematik; Hrsg.: Walter Gellert, Herbert Kästner und Siegfried Neuber; Auflage: 2; Verlag: VEB Bibliographisches Institut Leipzig; Adresse: Leipzig; 1979; Quellengüte: 5 (Buch)
  2. ↑ Asser (1980): Günter Asser; Grundbegriffe der Mathematik – I. Mengen. Abbildungen. Natürliche Zahlen; Auflage: 4; Verlag: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften; Adresse: Berlin; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. ↑ Meyberg (1980): Kurt Meyberg; Algebra – Teil 1; Auflage: 2; Verlag: Carl Hanser Verlag; Adresse: München, Wien; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
  1. Brockhaus (1986, A-APT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 1, A-APT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1101-4; 1986; Quellengüte: 5 (Buch)

TO BE DONE

Universal Algebra, George Grätzer
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