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| =Definition: Algebraische Struktur=
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| Ein [[Paar (Mathematik)|Paar]] <math>\mathcal{A} = (A, (d_i)_{i \in I})</math>
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| heißt [[Algebraische Struktur]] oder [[Algebraische Struktur|Universelle Algebra]], wenn:
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| * <math>A</math> ist eine {{Menge}} oder {{Klasse}}, die so genannte [[Trägermenge]]
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| * <math>I</math> ist eine nicht-leere Indexmenge
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| * <math>(d_i)_{i \in I}</math> ist eine [[Familie]] von [[algebraische Operation|Deskriptoren algebraischer Operationen]]<br/>mit <math>d_i = (o_i, A, n_i, B_i)</math> für alle <math>i \in I</math>.
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| Die Funktionen <math>o_i</math> der algebraischen Struktur sind also <math>n_i</math>-stellige [[algebraische Operation|algebraischer Operationen]] über der Tägermenge <math>A</math> mit dem Operationsbereich <math>B_i</math>:
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| <div class="formula">
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| {|
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| |-
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| | $o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A,$ || $\text{falls }B_i = \emptyset$
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| |-
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| | $o_i: B_i \times A^{n_i} \rightarrow_p A,$ || $\text{falls }B_i \not= \emptyset$
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| |}
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| </div>
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| =Bemerkungen=
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| An Stelle von [[Algebraische Struktur]] sagt man häufig kurz [[Algebraische Struktur|Algebra]].
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| [[Quelle::Gellert, Kästner (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein
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| können.<ref>{{Quelle|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}</ref>
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| Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes [[Algebraische Oprenration]] automatisch gegeben.
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| [[Quelle::Asser (1980)]] fordert, dass eine algebraische Struktur auch [[Konstante]]n (<math>\in A</math>) und [[Relation]]en über <math>A</math>
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| (d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, <math>n \in \mathbb{N}</math>) enthalten darf.<ref>{{Quelle|Asser, G. (1980): Grundbegriffe der Mathematik}}</ref>
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| Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen <math>k: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und
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| auch Relationen durch Funktionen
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| <div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2)</math></div>
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| oder partielle Funktionen
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| <div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow_p \{a\}\,\,\,(a \in A)</math></div>
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| nachgebildet werden können.
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| [[Quelle::Meyberg (1980)]] definiert algebraische Strukturen allgemeiner als Gellert und Kästner sowie als Asser. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math>
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| auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref>
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| <div class="formula"><math>o: B \times A \rightarrow A</math></div>
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| Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes [[algebraische Operation]] ebenfalls enthalten.
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| =Alternative Schreibweise=
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| Die Indexmenge <math>\mathcal{I}</math> ist sehr oft eine Menge von natürlichen Zahlen <math>\{1,\ldots,k\}</math>. In diesem Fall notiert man
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| eine [[algebraische Struktur]] i. Allg. nicht mit Hilfe einer Familie, sondern durch explizite Aufzählung.
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| Beispielsweise wird eine Algebra
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| <div class="formula"><math>(A, \{(1, (o_1, A, n_1, \emptyset)), (2, (o_2, A, n_2, B_2))\})</math></div>
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| normalerweise folgendermaßen notiert, wobei jeweils auch noch abgegeben wird, ob es sich um eine (echt-)partielle oder eine totale Funktion handelt:
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| <div class="formula"><math>(A, o_1, o_2)</math>, wobei <math>o_1: A^{n_1} \rightarrow_p A</math> und <math>o_2: B_2 \times A^{n_2} \rightarrow A</math></div>
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| =Beispiele=
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| * Die [[natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur, ein so genanntes [[Monoid]], bei der alle algebraischen Operationen total sind: $(\mathbb{N}, +, \cdot)$, wobei $+:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ und $\cdot:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$.
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| * Die [[Ordinalzahlen]] bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation ebenfalls ein so genanntes [[Monoid]], bei der alle algebraischen Operationen total sind: $(\Omega, +, \cdot)$, wobei $+:\Omega^2 \rightarrow \Omega$ und $\cdot:\Omega^2 \rightarrow \Omega$.
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| * Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine [[algebraische Struktur]] mit einer echt-patiellen algebraischen Operation: $(\mathbb{N}, +, -, \cdot)$, die Subtraktion ist lediglich eine [[partielle algebraische Operation]]: $-:\mathbb{N}^2 \rightarrow_p \mathbb{N}$.
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| * Für eine [[Relationale Algebra]] sind i. Allg. abzählbar viele algebraische Operationen definiert.
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| =Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen=
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| * [[Magma]]
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| ** [[Halbgruppe]]
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| *** [[Monoid]]
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| **** [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]
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| ***** [[Abelsche Gruppe]] = [[Kommunikative Gruppe]]
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| ** [[Quasigruppe]]
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| *** [[Loop]]
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| **** [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]
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| ***** [[Abelsche Gruppe]] = [[Kommunikative Gruppe]]
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| * [[Halbring]]
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| ** [[Ring (Mathematik)|Ring]]
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| *** [[Kommutativer Ring]]
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| **** [[Körper]]
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| * [[Verband]]
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| ** [[Modularer Verband]]
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| *** [[Distributiver Verband]]
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| **** [[Komplementärer Distributiver Verband]] = [[Boolesche Algebra]]
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| ***** [[Boolesche σ-Algebra]]
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| **** [[Ereignisalgebra]] = [[Mengenalgebra]]
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| ***** [[σ-Algebra]]
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| * [[Hyperkomplexes System]] = [[Algebra über einen Ring]] (oft auch nur: [[Algebra]])
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| ** [[Vektorraum]]
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| * [[Relationale Algebra]]
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| =Quellen=
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| <references/>
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| <ol>
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| <li value="4">{{Quelle|Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-APT)}}</li>
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| </ol>
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| {{TBD|Universal Algebra, George Grätzer}}
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| [[Kategorie:Algebraische Struktur]]
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| [[Kategorie:Mathematische Definition]] | |
