Algebraische Struktur

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Definition: Algebraische Struktur

Ein Paar $ \mathcal{A} = (A, (d_i)_{i \in I}) $ heißt Algebraische Struktur oder Universelle Algebra, wenn:

Die Funktionen $ o_i $ der algebraischen Struktur sind also $ n_i $-stellige algebraischer Operationen über der Tägermenge $ A $ mit dem Operationsbereich $ B_i $:

$ \begin{tabular}{lll} $o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A,$ & $\text{falls }B_i = \emptyset$ \\ $o_i: B_i \times A^{n_i} \rightarrow_p A,$ & $\text{falls }B_i \not= \emptyset$ \end{tabular} $

Bemerkungen

An Stelle von Algebraische Struktur sagt man häufig kurz Algebra.

Gellert, Kästner (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können.[1] Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes Algebraische Oprenration automatisch gegeben.

Asser (1980) fordert, dass eine algebraische Struktur auch Konstanten ($ \in A $) und Relationen über $ A $ (d.h. Teilmengen von $ A^n $, $ n \in \mathbb{N} $) enthalten darf.[2] Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen $ k: A^0 \rightarrow A $ als Konstanten aufgefasst werden können und auch Relationen durch Funktionen

$ r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2) $

oder partielle Funktionen

$ r: A^n \rightarrow_p \{a\}\,\,\,(a \in A) $

nachgebildet werden können.

Meyberg (1980) dagegen definiert algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge $ A $ auf Elemente der Grundmenge $ A $ abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:[3]

$ o: B \times A \rightarrow A $

Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes algebraische Operation ebenfalls enthalten.

Alternative Schreibweise

Die Indexmenge $ \mathcal{I} $ ist sehr oft eine Menge von natürlichen Zahlen $ \{1,\ldots,k\} $. In diesem Fall notiert man eine algebraische Struktur i. Allg. nicht mit Hilfe einer Familie, sondern durch explizite Aufzählung. Beispielsweise wird eine Algebra

$ (A, \{(1, (o_1, A, n_1, \emptyset)), (2, (o_2, A, n_2, B_2))\}) $

normalerweise folgendermaßen notiert, wobei jeweils auch noch abgegeben wir, ob es sich um eine (echt-)partielle oder eine totale Funktion handelt:

$ (A, o_1, o_2) $, wobei $ o_1: A^{n_1} \rightarrow_p A $ und $ o_2: B_2 \times A^{n_2} \rightarrow A $

Beispiele

  • Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur, ein so genanntes Monoid, bei der alle algebraischen Operationen total sind: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $, wobei $ +:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N} $ und $ \cdot:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N} $.
  • Die Ordinalzahlen bilden zusammen mit der üblichen Addition und der Multiplikation ebenfalls ein so genanntes Monoid, bei der alle algebraischen Operationen total sind: $ (\Omega, +, \cdot) $, wobei $ +:\Omega^2 \rightarrow \Omega $ und $ \cdot:\Omega^2 \rightarrow \Omega $.
  • Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine algebraische Struktur mit einer echt-patiellen algebraischen Operation: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $, die Subtraktion ist lediglich eine partielle algebraische Operation: $ -:\mathbb{N}^2 \rightarrow_p \mathbb{N} $.
  • Für eine Relationale Algebra sind i. Allg. abzählbar viele algebraische Operationen definiert.

Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen

Quellen

  1. Asser (1980): Günter Asser; Grundbegriffe der Mathematik – I. Mengen. Abbildungen. Natürliche Zahlen; Auflage: 4; Verlag: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften; Adresse: Berlin; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
  2. Meyberg (1980): Kurt Meyberg; Algebra – Teil 1; Auflage: 2; Verlag: Carl Hanser Verlag; Adresse: München, Wien; 1980; Quellengüte: 5 (Buch)
  1. Brockhaus (1986, A-APT): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 1, A-APT; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1101-4; 1986; Quellengüte: 5 (Buch)