Axiom:Paaraxiom

Definitionen

Voraussetzung

Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der „Elemente“/„Objekte“ aud „Elemente“/„Objekte“ abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.

Paaraxiom: Definition in Metametasprache

Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.

Paaraxiom: Definition in Metasprache

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

Paaraxiom: Definition in Objektsprache

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $

Geschichte

Das Paaraxiom wurde 1897 von Guiseppe Peano eingeführt.

Eigenschaften von geordneten Paaren

Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:

$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$

Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:

$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$

Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren

Wenn das Paaraxiom erfüllt ist, gibt es genau einen Operator $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$, die die zuvor definierten Eigenschaften haben.

Anmerkung

Insbesondere gilt damit für jedes Paar $p$ die Beziehung $p = [\pi_1(p),\pi_2(p)]$.

Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare

Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die zuvor definierten Eigenschaften erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom erfüllt.

Anmerkung

Dieser Satz ist die Umkehrung des vorangegangen Satzes. Außerdem folgt aus dem vorangegangen Satz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.

Siehe auch

• Geordnetes Paar