Axiom:Paaraxiom

Definitionen

Voraussetzung

Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der „Elemente“/„Objekte“ aud „Elemente“/„Objekte“ abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.

Paaraxiom: Definition in Metametasprache

Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.

Paaraxiom: Definition in Metasprache

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

Paaraxiom: Definition in Objektsprache

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $

Geschichte

Das Paaraxiom wurde 1897 von Guiseppe Peano eingeführt.

Eigenschaften von geordneten Paaren

Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:

$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$

Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:

$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$

Siehe auch

• Geordnetes Paar