Axiom:Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen

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==Geschichte==
 
==Geschichte==
Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Guiseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897)">{{Quelle|Peano (1897)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
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Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897)">{{Quelle|Peano (1897)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
  
 
==Eigenschaften von geordneten Paaren==
 
==Eigenschaften von geordneten Paaren==
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<div class="formula">$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$</div>
 
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Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
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Im Gegensatz dazu sind [[geordnetes Paar|geordnete Paare]] – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
 
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$</div>
 
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$</div>
  

Version vom 23. März 2015, 11:28 Uhr

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1 Definitionen

1.1 Voraussetzung

Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der „Elemente“/„Objekte“ aud „Elemente“/„Objekte“ abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.

1.2 Paaraxiom: Definition in Metametasprache

Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.

1.3 Paaraxiom: Definition in Metasprache

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

1.4 Paaraxiom: Definition in Objektsprache

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $

2 Geschichte

Das Paaraxiom wurde 1897 von Giuseppe Peano eingeführt.[1]

3 Eigenschaften von geordneten Paaren

Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:

$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$

Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:

$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$

4 Quellen

  1. Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71

5 Siehe auch

  1. Geordnetes Paar