Axiom:Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen
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===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache|Objektsprache]] | ===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Objektsprache dieses Wikis]]=== | ||
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div> | <div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div> | ||
Version vom 23. März 2015, 11:36 Uhr
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Definitionen
Voraussetzung
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.
Paaraxiom: Definition in Metametasprache
Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.
Paaraxiom: Definition in Metasprache dieses Wikis|
$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $
Paaraxiom: Definition in Objektsprache dieses Wikis
$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $
Geschichte
Das Paaraxiom wurde 1897 von Giuseppe Peano eingeführt.[1][2]
Eigenschaften von geordneten Paaren
Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:
$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$
Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$
Quellen
- ↑ Peano (1897a): Giuseppe Peano; Studii de Logica Matematica; Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino; Reihe: Classe di Scienze Fisiche Matematiche e Naturali; Band: 32; Seite(n): 565-583; Verlag: Accademia delle Scienze di Torino; Adresse: Torino; Web-Link; 1897 (Sammelband), S. 580
- ↑ Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71
