Axiom:Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen

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Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.
 
Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.
  
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Metasprache dieses Wikis|]]===
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<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>
 
<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>
  

Version vom 13. April 2015, 12:11 Uhr

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1 Definitionen

1.1 Voraussetzung

Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.

1.2 Paaraxiom: Definition in Metametasprache

Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.

1.3 Paaraxiom: Definition in Metasprache dieses Wikis

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

1.4 Paaraxiom: Definition in Objektsprache dieses Wikis

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $
Freges Paar-Begriff erfüllt das Paaraxiom, Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248

2 Geschichte

Das Paaraxiom wurde 1897 von Giuseppe Peano eingeführt.[1][2] Allerdings hat Gottlob Frege bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.[3]

3 Eigenschaften von geordneten Paaren

Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:

$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$

Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:

$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b$

4 Quellen

  1. Peano (1897a): Giuseppe Peano; Studii de Logica Matematica; Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino; Reihe: Classe di Scienze Fisiche Matematiche e Naturali; Band: 32; Seite(n): 565-583; Verlag: Accademia delle Scienze di Torino; Adresse: Torino; Web-Link; 1897 (Sammelband), S. 580
  2. Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71
  3. Frege (1893): Gottlob Frege; Grundgesetze der Arithmetik; Band: I; Verlag: Verlag Hermann Pohle; Adresse: Jena; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1893; Quellengüte: 5 (Buch), §149, §155

5 Siehe auch