Axiom:Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen

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{{TBD|Sir William Rowan Hamilton einführen. Das Paaraxiom für ungeordnete Paar aufführen.}}
==Definitionen==
==Definitionen==
===Voraussetzung===
===Voraussetzung===
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger [[Operator]], der „Elemente“/„Objekte“ aud „Elemente“/„Objekte“ abbildet.
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger [[Operator]], der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet.
Falls dieser Operator das [[Axiom:Paraxiom|Paaraxiom]] erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ [[geordnetes Paar|geordnete Paare]].  
Falls dieser Operator das [[Axiom:Paaraxiom|Paaraxiom]] (genauer: das Gleichheitsaxiom für geordnete aare) erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ [[geordnetes Paar|geordnete Paare]].
 
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]===
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]===
Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.
Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache]]===
 
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $, wobei $[\cdot,\cdot]$</div>
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Metasprache dieses Wikis]]===
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===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Objektsprache dieses Wikis]]===
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>


==Geschichte==
==Alternativ-Definition==
Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Guiseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897)">{{Quelle|Peano (1897)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>


==Eigenschaften von geordneten Paaren==
Unter der Voraussetzung der [[Leipnizsche Ersetzbarkeit|Leibnizschen Ersetzbarkeit]], d.h. unter der Voraussetzung, dass ein Term $t_1$
Bei [[Paarmenge]]n spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:
stets durch einen zweiten Term $t_2$ ersetzt werden kann, sofern beide Terme gleich sind, d.h. sofern $t_1 = t_2$ gilt,
<div class="formula">$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$</div>
kann man das Paaraxiom auch folgendermaßen formulieren.


Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
===Paaraxiom: Alternative Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]===
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$</div>
Wenn zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ geich sind, dann sind sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ einander gleich.


===[[Satz:Existenz_und_Eindeutigkeit_der_Projektionsoperatoren_von_geordneten_Paaren|Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren]]===
===Paaraxiom: Alternative Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Metasprache dieses Wikis]]===
Wenn das Paaraxiom erfüllt ist, gibt es genau einen Operator $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$, die die zuvor definierten Eigenschaften
<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Rightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>
haben.


====Anmerkung====
===Paaraxiom: Alternative Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Objektsprache dieses Wikis]]===
Insbesondere gilt damit für jedes Paar $p$ die Beziehung $p = [\pi_1(p),\pi_2(p)]$.
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \rightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>


===[[Satz:Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare folgt das Paaraxiom|Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare]]===
[[Datei:Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsaetze, S248.png|mini|300px|Freges Paar-Begriff erfüllt das [[Paaraxiom]], Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248]]


Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die zuvor definierten Eigenschaften
==Geschichte==
erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom erfüllt.
{{TBD|William Rowan Hamilton}}


====Anmerkung====
Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
Dieser Satz ist die Umkehrung des vorangegangen Satzes. Außerdem folgt aus dem vorangegangen Satz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.
Allerdings hat [[Gottlob Frege]] bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.<ref name="Frege (1893)">{{Quelle|Frege (1893)}}, §149, §155</ref>


==Quellen==
==Quellen==
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==Siehe auch==
==Siehe auch==
*[[Geordnetes Paar]]
*{{Vgl|Geordnetes Paar}}
 
[[Kategorie:Axiom]]

Version vom 8. März 2017, 18:57 Uhr

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TO BE DONE

Sir William Rowan Hamilton einführen. Das Paaraxiom für ungeordnete Paar aufführen.

Definitionen

Voraussetzung

Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom (genauer: das Gleichheitsaxiom für geordnete aare) erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.

Paaraxiom: Definition in Metametasprache

Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.

Paaraxiom: Definition in Metasprache dieses Wikis

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

Paaraxiom: Definition in Objektsprache dieses Wikis

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $

Alternativ-Definition

Unter der Voraussetzung der Leibnizschen Ersetzbarkeit, d.h. unter der Voraussetzung, dass ein Term $t_1$ stets durch einen zweiten Term $t_2$ ersetzt werden kann, sofern beide Terme gleich sind, d.h. sofern $t_1 = t_2$ gilt, kann man das Paaraxiom auch folgendermaßen formulieren.

Paaraxiom: Alternative Definition in Metametasprache

Wenn zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ geich sind, dann sind sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ einander gleich.

Paaraxiom: Alternative Definition in Metasprache dieses Wikis

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Rightarrow a=c \,\&\,b=d $

Paaraxiom: Alternative Definition in Objektsprache dieses Wikis

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \rightarrow a=c \,\wedge\,b=d $
Freges Paar-Begriff erfüllt das Paaraxiom, Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248

Geschichte

TO BE DONE

William Rowan Hamilton

Das Paaraxiom wurde 1897 von Giuseppe Peano eingeführt.[1][2] Allerdings hat Gottlob Frege bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.[3]

Quellen

  1. Peano (1897a): Giuseppe Peano; Studii de Logica Matematica; Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino; Reihe: Classe di Scienze Fisiche Matematiche e Naturali; Band: 32; Seite(n): 565-583; Verlag: Accademia delle Scienze di Torino; Adresse: Torino; Web-Link; 1897 (Sammelband), S. 580
  2. Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71
  3. Frege (1893): Gottlob Frege; Grundgesetze der Arithmetik; Band: I; Verlag: Verlag Hermann Pohle; Adresse: Jena; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1893; Quellengüte: 5 (Buch), §149, §155

Siehe auch