Axiom:Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen

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{{TBD|Sir William Rowan Hamilton einführen. Das Paaraxiom für ungeordnete Paar aufführen.}}
==Definitionen==
===Voraussetzung===
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger [[Operator]], der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet.
Falls dieser Operator das [[Axiom:Paaraxiom|Paaraxiom]] (genauer: das Gleichheitsaxiom für geordnete aare) erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ [[geordnetes Paar|geordnete Paare]].


<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]===
Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.


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von [[Giuseppe Peano]] definiert<ref name="Peano (1897)">{{Quelle|Peano (1897)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Objektsprache dieses Wikis]]===
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==Bedeutung des Paaraxioms==
==Alternativ-Definition==
Geordnete Paare sind im Gegensatz zu Mengen tatsächlich geordnet. Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle
($\{a,b\} = \{b,a\}$).
Bei Paaren kommt es dagegen aufgrund des Paaraxioms auf die Reihenfolge an:
<div class="formula">$[a,b] = [b,a]$ genau dann, wenn $a = b$</div>


Die Rückrichtung des Paaraxiom („Aus der Gleichheit von $a$ und $c$ sowie von $b$ und $d$ folgt die Gleichheit der beiden Paare $[a,b]$ und $[c,d]$“)
Unter der Voraussetzung der [[Leibnizsche Ersetzbarkeit|Leibnizschen Ersetzbarkeit]], d.h. unter der Voraussetzung, dass ein Term $t_1$
ist trivialerweise immer erfüllt, sofern man die Gleichheit mit Hilfe des „[[Prinzip von der Identität des Ununterscheidbaren|Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren]]“ definiert.
stets durch einen zweiten Term $t_2$ ersetzt werden kann, sofern beide Terme gleich sind, d.h. sofern $t_1 = t_2$ gilt,
kann man das Paaraxiom auch folgendermaßen formulieren.


Interessant ist daher vor allem die Aussage, dass aus der Gleichheit zweier Paare die Gleichheit der zugehörigen Elemente folgt.
===Paaraxiom: Alternative Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]===
Dies hat zwei nicht nur zur Folge, dass – wie gesehen – die Elemente einer Paarmenge geordnet sind, sondern im 
Wenn zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ geich sind, dann sind sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ einander gleich.
Umkehrschluss ([[logische Kontraposition]]) auch, dass sich zwei Paare unterscheiden, sobald sie sich in mindestens
Element unterscheiden:


<div class="formula">Aus $a\not=c$ '''oder''' $b\not=d$ folgt $[a,b] \not= [c,d]$</div>
===Paaraxiom: Alternative Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Metasprache dieses Wikis]]===
<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Rightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>
 
===Paaraxiom: Alternative Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Objektsprache dieses Wikis]]===
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \rightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>
 
[[Datei:Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsaetze, S248.png|mini|300px|Freges Paar-Begriff erfüllt das [[Paaraxiom]], Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248]]
 
==Geschichte==
{{TBD|William Rowan Hamilton}}
 
Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
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==Quellen==
==Quellen==
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==Siehe auch==
==Siehe auch==
*[[Geordnetes Paar]]
*{{Vgl|Geordnetes Paar}}
 
[[Kategorie:Axiom]]

Aktuelle Version vom 12. August 2019, 19:49 Uhr

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TO BE DONE

Sir William Rowan Hamilton einführen. Das Paaraxiom für ungeordnete Paar aufführen.

Definitionen

Voraussetzung

Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom (genauer: das Gleichheitsaxiom für geordnete aare) erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.

Paaraxiom: Definition in Metametasprache

Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.

Paaraxiom: Definition in Metasprache dieses Wikis

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

Paaraxiom: Definition in Objektsprache dieses Wikis

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $

Alternativ-Definition

Unter der Voraussetzung der Leibnizschen Ersetzbarkeit, d.h. unter der Voraussetzung, dass ein Term $t_1$ stets durch einen zweiten Term $t_2$ ersetzt werden kann, sofern beide Terme gleich sind, d.h. sofern $t_1 = t_2$ gilt, kann man das Paaraxiom auch folgendermaßen formulieren.

Paaraxiom: Alternative Definition in Metametasprache

Wenn zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ geich sind, dann sind sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ einander gleich.

Paaraxiom: Alternative Definition in Metasprache dieses Wikis

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Rightarrow a=c \,\&\,b=d $

Paaraxiom: Alternative Definition in Objektsprache dieses Wikis

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \rightarrow a=c \,\wedge\,b=d $
Freges Paar-Begriff erfüllt das Paaraxiom, Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248

Geschichte

TO BE DONE

William Rowan Hamilton

Das Paaraxiom wurde 1897 von Giuseppe Peano eingeführt.[1][2] Allerdings hat Gottlob Frege bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.[3]

Quellen

  1. ↑ Peano (1897a): Giuseppe Peano; Studii de Logica Matematica; Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino; Reihe: Classe di Scienze Fisiche Matematiche e Naturali; Band: 32; Seite(n): 565-583; Verlag: Accademia delle Scienze di Torino; Adresse: Torino; Web-Link; 1897 (Sammelband), S. 580
  2. ↑ Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71
  3. ↑ Frege (1893): Gottlob Frege; Grundgesetze der Arithmetik; Band: I; Verlag: Verlag Hermann Pohle; Adresse: Jena; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1893; Quellengüte: 5 (Buch), §149, §155

Siehe auch

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