Axiom:Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen

aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Wechseln zu:Navigation, Suche
(Paaraxiom: Definition in Metasprache dieses Wikis|)
 
(6 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
{{Qualität
 
{{Qualität
|correctness        = 4
+
|correctness        = 2
 
|extent              = 3
 
|extent              = 3
 
|numberOfReferences  = 5
 
|numberOfReferences  = 5
Zeile 6: Zeile 6:
 
|conformance        = 5
 
|conformance        = 5
 
}}
 
}}
 +
{{TBD|Sir William Rowan Hamilton einführen. Das Paaraxiom für ungeordnete Paar aufführen.}}
 
==Definitionen==
 
==Definitionen==
 
===Voraussetzung===
 
===Voraussetzung===
 
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger [[Operator]], der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet.
 
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger [[Operator]], der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet.
Falls dieser Operator das [[Axiom:Paaraxiom|Paaraxiom]] erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ [[geordnetes Paar|geordnete Paare]].
+
Falls dieser Operator das [[Axiom:Paaraxiom|Paaraxiom]] (genauer: das Gleichheitsaxiom für geordnete aare) erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ [[geordnetes Paar|geordnete Paare]].
  
 
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]===
 
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]===
Zeile 19: Zeile 20:
 
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Objektsprache dieses Wikis]]===
 
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Objektsprache dieses Wikis]]===
 
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>
 
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>
 +
 +
==Alternativ-Definition==
 +
 +
Unter der Voraussetzung der [[Leibnizsche Ersetzbarkeit|Leibnizschen Ersetzbarkeit]], d.h. unter der Voraussetzung, dass ein Term $t_1$
 +
stets durch einen zweiten Term $t_2$ ersetzt werden kann, sofern beide Terme gleich sind, d.h. sofern $t_1 = t_2$ gilt,
 +
kann man das Paaraxiom auch folgendermaßen formulieren.
 +
 +
===Paaraxiom: Alternative Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]===
 +
Wenn zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ geich sind, dann sind sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ einander gleich.
 +
 +
===Paaraxiom: Alternative Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Metasprache dieses Wikis]]===
 +
<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Rightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>
 +
 +
===Paaraxiom: Alternative Definition in [[Metasprache#Mathematische Logik|Objektsprache dieses Wikis]]===
 +
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \rightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>
  
 
[[Datei:Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsaetze, S248.png|mini|300px|Freges Paar-Begriff erfüllt das [[Paaraxiom]], Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248]]
 
[[Datei:Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsaetze, S248.png|mini|300px|Freges Paar-Begriff erfüllt das [[Paaraxiom]], Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248]]
 +
 
==Geschichte==
 
==Geschichte==
 +
{{TBD|William Rowan Hamilton}}
 +
 
Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
 
Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Giuseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897a)">{{Quelle|Peano (1897a)}}, S. 580</ref><ref name="Peano (1897b)">{{Quelle|Peano (1897b)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
 
Allerdings hat [[Gottlob Frege]] bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.<ref name="Frege (1893)">{{Quelle|Frege (1893)}}, §149, §155</ref>
 
Allerdings hat [[Gottlob Frege]] bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.<ref name="Frege (1893)">{{Quelle|Frege (1893)}}, §149, §155</ref>
 
==Eigenschaften von geordneten Paaren==
 
Bei [[Paarmenge]]n spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:
 
<div class="formula">$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$</div>
 
 
Im Gegensatz dazu sind [[geordnetes Paar|geordnete Paare]] – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
 
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b$</div>
 
  
 
==Quellen==
 
==Quellen==

Aktuelle Version vom 12. August 2019, 19:49 Uhr

Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen nur teilweise:

Korrektheit: 2
(teilweise überprüft)
Umfang: 3
(einige wichtige Fakten fehlen)
Quellenangaben: 5
(vollständig vorhanden)
Quellenarten: 5
(ausgezeichnet)
Konformität: 5
(ausgezeichnet)

TO BE DONE

Sir William Rowan Hamilton einführen. Das Paaraxiom für ungeordnete Paar aufführen.

1 Definitionen

1.1 Voraussetzung

Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom (genauer: das Gleichheitsaxiom für geordnete aare) erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.

1.2 Paaraxiom: Definition in Metametasprache

Zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.

1.3 Paaraxiom: Definition in Metasprache dieses Wikis

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

1.4 Paaraxiom: Definition in Objektsprache dieses Wikis

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $

2 Alternativ-Definition

Unter der Voraussetzung der Leibnizschen Ersetzbarkeit, d.h. unter der Voraussetzung, dass ein Term $t_1$ stets durch einen zweiten Term $t_2$ ersetzt werden kann, sofern beide Terme gleich sind, d.h. sofern $t_1 = t_2$ gilt, kann man das Paaraxiom auch folgendermaßen formulieren.

2.1 Paaraxiom: Alternative Definition in Metametasprache

Wenn zwei geordnete Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ geich sind, dann sind sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ einander gleich.

2.2 Paaraxiom: Alternative Definition in Metasprache dieses Wikis

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Rightarrow a=c \,\&\,b=d $

2.3 Paaraxiom: Alternative Definition in Objektsprache dieses Wikis

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \rightarrow a=c \,\wedge\,b=d $
Freges Paar-Begriff erfüllt das Paaraxiom, Frege (1893), Tafel der wichtigeren Lehrsätze, S. 248

3 Geschichte

TO BE DONE

William Rowan Hamilton

Das Paaraxiom wurde 1897 von Giuseppe Peano eingeführt.[1][2] Allerdings hat Gottlob Frege bereits vier Jahre zuvor geordnete Paare $o;a$ innerhalb seines Axiomensystems definiert und die Eigenschaften, die Peanos Paaraxiom fordert, dafür bewiesen.[3]

4 Quellen

  1. Peano (1897a): Giuseppe Peano; Studii de Logica Matematica; Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino; Reihe: Classe di Scienze Fisiche Matematiche e Naturali; Band: 32; Seite(n): 565-583; Verlag: Accademia delle Scienze di Torino; Adresse: Torino; Web-Link; 1897 (Sammelband), S. 580
  2. Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71
  3. Frege (1893): Gottlob Frege; Grundgesetze der Arithmetik; Band: I; Verlag: Verlag Hermann Pohle; Adresse: Jena; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1893; Quellengüte: 5 (Buch), §149, §155

5 Siehe auch