Axiom:Paaraxiom

TO BE DONE

Für alle Elemente $a$, $b$, $c$, $d$ gilt, dass die Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ genau dann gleich sind,

wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ einander gleich sind.

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $

von Giuseppe Peano definiert

Bedeutung des Paaraxioms

Geordnete Paare sind im Gegensatz zu Mengen tatsächlich geordnet. Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle ($\{a,b\} = \{b,a\}$). Bei Paaren kommt es dagegen aufgrund des Paaraxioms auf die Reihenfolge an:

$[a,b] = [b,a]$ genau dann, wenn $a = b$

Die Rückrichtung des Paaraxiom („Aus der Gleichheit von $a$ und $c$ sowie von $b$ und $d$ folgt die Gleichheit der beiden Paare $[a,b]$ und $[c,d]$“) ist trivialerweise immer erfüllt, sofern man die Gleichheit mit Hilfe des „Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren“ definiert.

Interessant ist daher vor allem die Aussage, dass aus der Gleichheit zweier Paare die Gleichheit der zugehörigen Elemente folgt. Dies hat zwei nicht nur zur Folge, dass – wie gesehen – die Elemente einer Paarmenge geordnet sind, sondern im Umkehrschluss (logische Kontraposition) auch, dass sich zwei Paare unterscheiden, sobald sie sich in mindestens Element unterscheiden:

Aus $a\not=c$ oder $b\not=d$ folgt $[a,b] \not= [c,d]$

Siehe auch

• Geordnetes Paar