Axiom:Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 23. März 2015, 11:28 Uhr
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Definitionen
Voraussetzung
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der „Elemente“/„Objekte“ aud „Elemente“/„Objekte“ abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.
Paaraxiom: Definition in Metametasprache
Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.
Paaraxiom: Definition in Metasprache
$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $
Paaraxiom: Definition in Objektsprache
$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $
Geschichte
Das Paaraxiom wurde 1897 von Giuseppe Peano eingeführt.[1]
Eigenschaften von geordneten Paaren
Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:
$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$
Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$
Quellen
- ↑ Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71
