Axiom:Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Kowa (Diskussion | Beiträge) Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Kowa (Diskussion | Beiträge) |
||
| Zeile 8: | Zeile 8: | ||
==Definitionen== | ==Definitionen== | ||
===Voraussetzung=== | ===Voraussetzung=== | ||
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger [[Operator]], der „Elemente“/„Objekte“ | Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger [[Operator]], der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet. | ||
Falls dieser Operator das [[Axiom:Paaraxiom|Paaraxiom]] erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ [[geordnetes Paar|geordnete Paare]]. | Falls dieser Operator das [[Axiom:Paaraxiom|Paaraxiom]] erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ [[geordnetes Paar|geordnete Paare]]. | ||
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]=== | ===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]=== | ||
Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind. | Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind. | ||
Version vom 23. März 2015, 11:31 Uhr
Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen nur teilweise:
| Korrektheit: 4 (großteils überprüft) |
Umfang: 3 (einige wichtige Fakten fehlen) |
Quellenangaben: 5 (vollständig vorhanden) |
Quellenarten: 5 (ausgezeichnet) |
Konformität: 5 (ausgezeichnet) |
Definitionen
Voraussetzung
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der jeweils zwei „Elemente“/„Objekte“ des gegebenen Universums auf ein „Element“/„Objekt“ des Universums abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.
Paaraxiom: Definition in Metametasprache
Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.
Paaraxiom: Definition in Metasprache dieses Wikis
$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $
Paaraxiom: Definition in Objektsprache dieses Wikis
$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $
Geschichte
Das Paaraxiom wurde 1897 von Giuseppe Peano eingeführt.[1]
Eigenschaften von geordneten Paaren
Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:
$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$
Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$
Quellen
- ↑ Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71
