Axiom:Paaraxiom
Definitionen
Voraussetzung
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der „Elemente“/„Objekte“ aud „Elemente“/„Objekte“ abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.
Paaraxiom: Definition in Metametasprache
Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.
Paaraxiom: Definition in Metasprache
Paaraxiom: Definition in Objektsprache
Geschichte
Das Paaraxiom wurde 1897 von Guiseppe Peano eingeführt.[1]
Eigenschaften von geordneten Paaren
Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:
Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren
Wenn das Paaraxiom erfüllt ist, gibt es genau einen Operator $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$, die die zuvor definierten Eigenschaften haben.
Anmerkung
Insbesondere gilt damit für jedes Paar $p$ die Beziehung $p = [\pi_1(p),\pi_2(p)]$.
Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare
Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die zuvor definierten Eigenschaften erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom erfüllt.
Anmerkung
Dieser Satz ist die Umkehrung des vorangegangen Satzes. Außerdem folgt aus dem vorangegangen Satz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.
Quellen
- ↑ Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71