Axis Aligned Bounding Box
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Definition (von Kowarschick[1])
Es sei $o$ ein kompaktes (d. h. ein abgeschlossenes und beschränktes) geometrisches 2D- bzw. 3D-Objekt. Eine Axis Aligned Bounding Box (AABB) oder kurz Bounding Box ist ein spezieller Hüllkörper für das Objekt $o$ in Form eines achsenparallelen Rechtecks (2D) bzw. Quaders (3D). Das Objekt $o$ berührt alle 4 bzw. 6 Seiten der Bounding Box.
Eigenschaften
- Es gibt für jedes kompakte Objekt jeweils genau eine AABB. Dieses ist das kleinstmögliche achsenparallele Rechteck bzw. der kleinstmögliche achsenparallele Quader das bzw. der $o$ einschließt. Es wird sogar die konvexe Hülle von $o$ eingeschlossen.
- Die Bounding Box kann bei polygonalen Objekten sehr einfach über eine Minimums- und Maximumssuche über die Koordinaten aller Eckpunkte des Objektes ermittelt werden.[2] Aber auch für andere geometrische Objekte, wie Kreise oder achsenparallele Ellipsen, ist die Ermittlung der AABB sehr einfach.
Integritätsbedingungen einer zwei-dimensionalen Bounding Box
Es sei eine Bounding Box mit folgenden Attributen gegeben:
lft
: $x$-Koordinate der beiden linken Eckenrgt
: $y$-Koordinate der beiden rechten Eckentop
: $x$-Koordinate der beiden oberen Eckenbtm
: $y$-Koordinate der beiden unteren Eckenwidth
: Breite der Bounding Boxheight
: Höhe der Bounding Boxx
: $x$-Koordinate des Pivotpunkts (engl.: pivot = Drehpunkt)y
: $y$-Koordinate der PivotpunktsxPivot
: Abstand der $x$-Koordinate des Pivotpunkts vom linken RandyPivot
: Abstand der $y$-Koordinate des Pivotpunkts vom oberen RandxAnchor
: Relativer Abstand der $x$-Koordinate des Pivotpunkts vom linken RandyAnchor
: Relativer Abstand der $y$-Koordinate des Pivotpunkts vom oberen Rand
Beachten Sie bitte, dass eine Bounding Box gemäß Definition nicht gedreht werden kann. Daher ist der Begriff Drehpunkt eigentlich falsch. Allerdings wird der Ankerpunkt eines geometrischen Objektes üblicherweise als Drehpunkt verwendet. In Grafikbibliotheken wie z. B. pixi.js wird der Ankerpunkt üblicherweise als Pivotpunkt bezeichnet, wenn die absoluten Abstände (in Pixeln oder anderen Grafikeinheiten) von der linken oberen Ecke der Box aus angegeben werden, und als Ankerpunkt, wenn die relativen Abstände hinsichtlich Breite und Höhe der Box von der linken oberen Ecke aus gesehen angegeben werden. Diese Konvention wird hier beibehalten.
Für eine Bounding Box gelten folgende Integritätsbedingungen (wenn man ein in der Computergrafik übliches Koordinatensystem zugrundelegt, bei dem sich der Null punkt in der linken oberen Ecke der Bühne befindet und die $y$-Werte in Richtung unterem Bühnenrand größer werden):
rgt >= lft
btm >= top
(Koordinatensystem!)width === rgt -lft >= 0
height === btm-top >= 0
(Koordinatensystem!)lft === x - xPivot
rgt === x - xPivot + width === lft + width
top === y - yPivot
btm === y - yPivot + height === top + height
(Koordinatensystem!)xAnchor === xPivot / width
yAnchor === yPivot / height
Kollisionserkennung
Die Kollisionserkennung ist für Bounding Boxes relativ einfach. Daher geht man in der Computergrafik oft zweistufig vor. Im ersten Schritt überprüft man, ob sich zwei Bounding Boxes berühren oder überlappen. Falls dies nicht der Fall ist, berühren oder überlappen sich die zugehörigen Objekte ebenfalls nicht. Das heißt, in diesem Fall liegt mit Sicherheit keine Kollision vor. Dieser Fall tritt sehr häufig ein, wenn sich viele relativ kleine Objekte auf der Bühne befinden. Falls die Bounding Boxes kollidieren, ist damit allerdings noch nicht gesagt, das auch die darin enthaltenen Objekte kollidieren. Das heißt, in diesem Fall müssen i. Allg. weitere mathematische Tests unternommen, um festzustellen, ob die beiden in den Boxen eingeschlossenen Objekte kollidieren. Falls dies der Fall ist, schließt sich daran üblicherweise die Kollisionsbehandlung an.
Um eine Formel für die Kollisionserkennung zweier Bounding Boxes b1
und b2
herzuleiten, ist es von Vorteil sich zunächst den gegenteiligen Fall anzusehen: Die Boxes überlappen sich genau dann nicht,
wenn der linke Rand einer Box größer ist als der rechte der anderen oder der obere Rand der einen größer ist
als der untere der anderen. Damit hat man folgende Bedingung:
if (b1.left > b2.rgt || b2.lft > b1.rgt || b1.top > b2.btm || b2.top > b1.btm)
{ <b1 und b2 kollidieren nicht> }
Wenn man diese Aussage negiert, erhält man einen Kollisionstest
(man beachte den Negationsoperator !
):
if (!(b1.left > b2.rgt || b2.lft > b1.rgt || b1.top > b2.btm || b2.top > b1.btm))
{ <b1 und b2 kollidieren> }
Nach dem De-Morganschen-Gesetz !(a || b) === !a && !b
kann man diesen Test folgendermaßen vereinfachen:
if (b1.left <= b2.rgt && b2.lft <= b1.rgt && b1.top <= b2.btm && b2.top <= b1.btm)
{ <b1 und b2 kollidieren> }
Verschiebung des Pivotpunkts
Wenn man den Pivotpunkt der Bounding Box verschieben will, ohne die Box selbst zu verschieben, muss man eine Ausgleichrechnung durchführen.
Wie man dem nebenstehenden Bild entnehmen kann, verschiebt sich der Pivotpunkt x
um den Betrag xPivot_neu - xPivot_alt. Wenn nun lft_neu === lft_alt
(und damit auch rgt_neu === rgt_alt) gelten soll, kommt die Integritätsbedingung
lft === x - xPivot
zur Anwendung:
0 === lft_neu - lft_alt
=== (x_neu - xPivot_neu) - (x_alt - x_Pivot_alt)
=== x_neu - x_alt - (xPivot_neu - xPivot_alt)
Also gilt die Beziehung
x_neu === x_alt + (xPivot_neu - xPivot_alt)
Quellen
- ↑ Kowarschick (WebProg): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Web-Programmierung“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2024; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
- ↑ Bender, Brill (2006): Michael Bender und Manfred Bill; Computergrafik – Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch; Auflage: 2; Verlag: Carl Hanser Verlag; Adresse: München, Wien; ISBN: 3-446-40434-1; 2006 (Buch), S. 55