Beta-Verteilung

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Definition

Eine stetige Zufallsgröße $X = \Beta V(\alpha,\beta,a,b)\;$ mit $a < b$ heißt beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) :=

       \begin{cases} 
         \frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 
         0                          & \mbox{sonst }
       \end{cases}           

$

beschrieben werden kann. $\Beta(\alpha,\beta)$ ist dabei die Beta-Funktion.

$\alpha,\,\beta,\,a$ und $b$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße

Parameter (vgl. Parameter der standardisierten Beta-Verteilung )	$\alpha \in ]0,\infty[$ $\beta \in ]0,\infty[$ $a \in ]-\infty,\infty[$ $b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a$ $d := b-a > 0$
Dichtefunktion	$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \begin{cases} \frac{{(x-a)}^{\alpha -1}\cdot {(b-x)}^{\beta-1}}{{\Beta(\alpha,\beta)}\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit	$f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$
Träger	$f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ $
Verteilungsfunktion	$F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t$ ist nicht elementar darstellbar
Modus	$c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}$ $\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1$
Erwartungswert	$\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}$
Varianz	$\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$
Standardabweichung	$\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)} \sqrt{{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}}$

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung

In Beta-Verteilung (standardisiert) wird eine speziellere Dichtefunktion $f_{\Beta V(\alpha,\beta)}$ definiert. Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:

$f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) \!$

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)

 = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
 = \frac{1}{d}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)

$

Und damit gilt auch die Beziehung:

$ F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)

   = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
   = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right)

$

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
3. WikipediaEn: Beta distribution
4. Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung

Siehe auch

1. Brighton Webs Ltd.: Beta Distribution
2. Dreiecksverteilung