Beta-Verteilung

Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X $ heißt beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)= \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann. $ \Beta(\alpha,\beta)\! $ ist dabei die Beta-Funktion.

$ \alpha,\,\beta,\,a $ und $ b\, $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße

Parameter (vgl. Parameter der Dreiecksverteilung)	$ \alpha \in ]0,\infty[ $ $ \beta \in ]0,\infty[ $ $ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ d := b-a > 0\! $
Dichtefunktion	$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}\cdot (b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit	$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $
Modus	$ c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2} $ $ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\! $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta} $
Varianz	$ \operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}} $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung

In Beta-Verteilung (standardisiert) wird eine speziellere Dichtefunktion $ f_{X,\alpha,\beta}\! $ definiert. Wie hängen die hier definierte allgemeiner Form und die dort definierte spezieller Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:

$ f_{X,\alpha,\beta}(x) = f_{X,\alpha,\beta,0,1}(x) \! $

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

• Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik
• Wikipedia (en): Beta distribution
• Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung

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