Beta-Verteilung (standardisiert): Unterschied zwischen den Versionen
Kowa (Diskussion | Beiträge) Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Kowa (Diskussion | Beiträge) Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
Zeile 6: | Zeile 6: | ||
|conformance = 4 | |conformance = 4 | ||
}} | }} | ||
=Definition= | ==Definition== | ||
Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] | Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] $X = \Beta V(\alpha,\beta)\;$ heißt '''standardisiert beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch | ||
die [[Dichtefunktion]] | die [[Dichtefunktion]] | ||
< | <div class="formula">$ | ||
f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x)= | |||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
\frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\ | \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\ | ||
0 & \mbox{sonst } | 0 & \mbox{sonst } | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</ | $</div> | ||
beschrieben werden kann. | beschrieben werden kann. $Beta(\alpha,\beta)$ ist dabei die [[Beta-Funktion]]. | ||
$\alpha$ und $\beta$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen. | |||
=Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße= | ==Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße== | ||
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung | | {{Wahrscheinlichkeitsverteilung | | ||
Zeile 32: | Zeile 33: | ||
parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math>| | parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math>| | ||
annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung|allgemeinen<br/> Beta-Verteilung]] )| | annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung|allgemeinen<br/> Beta-Verteilung]] )| | ||
pdf = | pdf =$f_X(x) := | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
\frac{{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}}{ {\Beta(\alpha,\beta)} }& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\ | \frac{{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}}{ {\Beta(\alpha,\beta)} }& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\ | ||
0 & \mbox{sonst } | 0 & \mbox{sonst } | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
$| | |||
continuity = | continuity = $f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$| | ||
support = | support =$f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[$| | ||
cdf =| | cdf =| | ||
mode = | mode =$c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}$<br> | ||
$\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1$| | |||
mean | mean $\mu(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$| | ||
quartile =| | quartile =| | ||
Zeile 55: | Zeile 55: | ||
median =| | median =| | ||
variance = | variance =$\operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$| | ||
sigma = | sigma =$\sigma(X) = \frac{1}{ {(\alpha+\beta)} }\sqrt{ {\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1} } }$| | ||
}} | }} | ||
=Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung= | ==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung== | ||
In [[Beta-Verteilung]] wird eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\!</math> definiert. | In [[Beta-Verteilung]] wird eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\!</math> definiert. | ||
Zeile 69: | Zeile 69: | ||
auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist: | auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist: | ||
< | <div class="formula">$f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x)$</div> | ||
Umgekehrt können alle | Umgekehrt können alle | ||
Zeile 75: | Zeile 75: | ||
Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden: | Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden: | ||
< | <div class="formula">$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) | ||
= \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) | = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) | ||
</ | $</div> | ||
([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]]) | ([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]]) | ||
=Quellen= | ==Quellen== | ||
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}} | #{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}} | ||
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}} | #{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}} |
Version vom 22. September 2014, 10:31 Uhr
Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen nur teilweise:
Korrektheit: 5 (vollständig überprüft) |
Umfang: 3 (einige wichtige Fakten fehlen) |
Quellenangaben: 4 (fast vollständig vorhanden) |
Quellenarten: 5 (ausgezeichnet) |
Konformität: 4 (sehr gut) |
Definition
Eine stetige Zufallsgröße $X = \Beta V(\alpha,\beta)\;$ heißt standardisiert beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x)= \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}$
beschrieben werden kann. $Beta(\alpha,\beta)$ ist dabei die Beta-Funktion.
$\alpha$ und $\beta$ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße
Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Beta-Verteilung ) | $ \alpha \in ]0,\infty[ $ $ \beta \in ]0,\infty[ $ |
Dichtefunktion | $f_X(x) :=
\begin{cases} \frac{{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}}{ {\Beta(\alpha,\beta)} }& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}$ |
Stetigkeit | $f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[$ |
Träger | $f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[$ |
Modus | $c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}$ $\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1$ |
Varianz | $\operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ |
Standardabweichung | $\sigma(X) = \frac{1}{ {(\alpha+\beta)} }\sqrt{ {\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1} } }$ |
Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung
In Beta-Verteilung wird eine allgemeinere Dichtefunktion $ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\! $ definiert. Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:
Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:
= \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)$
Quellen
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
- Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
- WikipediaEn: Beta distribution
- Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung
- xycoon: Beta Distribution