Beta-Verteilung (standardisiert): Unterschied zwischen den Versionen

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=Definition=
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==Definition==


Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X</math> heißt '''normalisiert beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = \Beta V(\alpha,\beta)\;</math> heißt '''standardisiert beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
die [[Dichtefunktion]]  
die [[Dichtefunktion]]  


<math>f_{X,\alpha,\beta}(x)=
<div class="formula"><math>
  f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x)=
         \begin{cases}  
         \begin{cases}  
           \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\  
           \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\  
           0                                                      & \mbox{sonst }
           0                                                      & \mbox{sonst }
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         \end{cases}           
</math>
</math></div>


beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)\!</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].
beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].


<math>\alpha\,</math> und  <math>\beta\,</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
<math>\alpha</math> und  <math>\beta</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.


=Eigenschaften einer normalisiert beta-verteilten Zufallsgröße=
==Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße==


{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
   name      =normalisierte Beta-Verteilung|
   name      =standardisierte Beta-Verteilung|
   type      =Dichte|
   type      =Dichte|
   pdf_image  =|
   pdf_image  =|
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   parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math>|
   parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math>|
 
  annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung|allgemeinen<br/> Beta-Verteilung]] )|
   pdf        =<math>
   pdf        =<math>f_X(x) :=
                f_X(x) :=
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
                     \frac{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\  
                     \frac{{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}}{ {\Beta(\alpha,\beta)} }& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\  
                     0                          & \mbox{sonst }
                     0                          & \mbox{sonst }
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>|
   proof_pdf =|
   continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[</math>|
  support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[</math>|


  continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>|
  proof_continuity =|
  support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>|
  proof_support =|
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   cdf        =|
  proof_cdf =|


   mode      =<math>c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}</math><br>
   mode      =<math>c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}</math><br>
<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\!</math>|
<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1</math>|
  proof_mode =|


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   mean      <math>\mu(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}</math>|
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   quartile  =|
  proof_quartile =|


   median      =|
   median      =|
  proof_median =|


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   variance  =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>|
  proof_variance =|
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=Zusammenhang zwischen allgemeiner und normalisierter Beta-Verteilung=
==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==


In [[Beta-Verteilung]] wird eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{X,\alpha,\beta,a,b}\!</math> definiert.
In [[Beta-Verteilung]] wird eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\!</math> definiert.
Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?


Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung (normalisiert)|normalisierten Beta-Verteilungen]]
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]]
auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:
auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:


<math>f_{X,\alpha,\beta}(x) = f_{X,\alpha,\beta,0,1}(x) \!</math>  
<div class="formula"><math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x)</math></div>


Umgekehrt können alle
Umgekehrt können alle
Dichtefunktionen [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] durch Linear-Transformationen aus entsprechenden  
Dichtefunktionen [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] durch Linear-Transformationen aus entsprechenden  
Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (normalisiert)|normalisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden:
Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden:
 
<div class="formula"><math>f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)
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<math>  f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)
([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
      = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
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([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und normalisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
==Quellen==
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
#[[WikipediaEn: Beta distribution]]
#[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Beta-Verteilung Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung]
#[http://www.xycoon.com/beta.htm xycoon: Beta Distribution]  


=Quellen=
[[Kategorie:Mathematische Definition]]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution Wikipedia (en): Beta distribution]
*[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Beta-Verteilung Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung]
*[http://www.xycoon.com/beta.htm xycoon: Beta Distribution]
[[Kategorie:Glossar]]
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Projektmanagement]]
[[Kategorie:Projektmanagement]]
[[en:Beta distribution]]
[[en:Beta distribution (standardized)]]

Aktuelle Version vom 23. April 2018, 15:22 Uhr

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Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X = \Beta V(\alpha,\beta)\; $ heißt standardisiert beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x)= \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann. $ \Beta(\alpha,\beta) $ ist dabei die Beta-Funktion.

$ \alpha $ und $ \beta $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße

Parameter
(vgl. Parameter der
allgemeinen
Beta-Verteilung )		$ \alpha \in ]0,\infty[ $
$ \beta \in ]0,\infty[ $
Dichtefunktion
$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}}{ {\Beta(\alpha,\beta)} }& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit
$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[ $
Träger
$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ $
Modus
$ c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} $
$ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1 $
Varianz
$ \operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $
Standardabweichung
$ \sigma(X) = \frac{1}{ {(\alpha+\beta)} }\sqrt{ {\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1} } } $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung

In Beta-Verteilung wird eine allgemeinere Dichtefunktion $ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\! $ definiert. Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) $

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

  1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. WikipediaEn: Beta distribution
  4. Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung
  5. xycoon: Beta Distribution
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