Beta-Verteilung (standardisiert): Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==


Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X</math> heißt '''standardisiert beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = \Beta V(\alpha,\beta)\;</math> heißt '''standardisiert beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
die [[Dichtefunktion]]  
die [[Dichtefunktion]]  


<math>f_{X,\alpha,\beta}(x)=
<div class="formula"><math>
  f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x)=
         \begin{cases}  
         \begin{cases}  
           \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\  
           \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\  
           0                                                      & \mbox{sonst }
           0                                                      & \mbox{sonst }
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         \end{cases}           
</math>
</math></div>


beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)\!</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].
beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]].


<math>\alpha\,</math> und  <math>\beta\,</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
<math>\alpha</math> und  <math>\beta</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.


=Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße=
==Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße==


{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
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   parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math>|
   parameters =<math>\alpha \in ]0,\infty[</math><br><math>\beta \in ]0,\infty[</math>|
 
  annotations_parameters =(vgl. Parameter der <br>[[Beta-Verteilung|allgemeinen<br/> Beta-Verteilung]] )|
   pdf        =<math>
   pdf        =<math>f_X(x) :=
                f_X(x) :=
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
                     \frac{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\  
                     \frac{{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}}{ {\Beta(\alpha,\beta)} }& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\  
                     0                          & \mbox{sonst }
                     0                          & \mbox{sonst }
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>|
   
   
   continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>|
   continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[</math>|
   
   
   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>|
   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[</math>|


   cdf        =|
   cdf        =|


   mode      =<math>c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}</math><br>
   mode      =<math>c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}</math><br>
<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\!</math>|
<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1</math>|


   mean      =<math>\mu(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}</math>|
   mean      <math>\mu(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}</math>|


   quartile  =|
   quartile  =|
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   variance  =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>|
   variance  =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>|


   sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}</math>|
   sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{ {(\alpha+\beta)} }\sqrt{ {\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1} } }</math>|


}}
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=Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung=
==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung==


In [[Beta-Verteilung]] wird eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{X,\alpha,\beta,a,b}\!</math> definiert.
In [[Beta-Verteilung]] wird eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\!</math> definiert.
Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?


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auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:
auch eine Dichtefunktion einer [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] ist:


<math>f_{X,\alpha,\beta}(x) = f_{X,\alpha,\beta,0,1}(x) \!</math>  
<div class="formula"><math>f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x)</math></div>


Umgekehrt können alle
Umgekehrt können alle
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Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden:
Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung (standardisiert)|standardisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden:


<math> f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)  
<div class="formula"><math>f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)  
       = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
       = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
</math>
</math></div>


([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])


=Quellen=
==Quellen==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution Wikipedia (en): Beta distribution]
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
*[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Beta-Verteilung Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung]
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
*[http://www.xycoon.com/beta.htm xycoon: Beta Distribution]  
#[[WikipediaEn: Beta distribution]]
[[Kategorie:Glossar]]
#[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Beta-Verteilung Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung]
#[http://www.xycoon.com/beta.htm xycoon: Beta Distribution]  
 
[[Kategorie:Mathematische Definition]]
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Projektmanagement]]
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Aktuelle Version vom 23. April 2018, 15:22 Uhr

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Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X = \Beta V(\alpha,\beta)\; $ heißt standardisiert beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ f_X(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x)= \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann. $ \Beta(\alpha,\beta) $ ist dabei die Beta-Funktion.

$ \alpha $ und $ \beta $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer standardisiert beta-verteilten Zufallsgröße

Parameter
(vgl. Parameter der
allgemeinen
Beta-Verteilung )		$ \alpha \in ]0,\infty[ $
$ \beta \in ]0,\infty[ $
Dichtefunktion
$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{{x^{\alpha -1}\cdot(1-x)^{\beta-1}}}{ {\Beta(\alpha,\beta)} }& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit
$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[ $
Träger
$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ $
Modus
$ c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} $
$ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1 $
Varianz
$ \operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $
Standardabweichung
$ \sigma(X) = \frac{1}{ {(\alpha+\beta)} }\sqrt{ {\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1} } } $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung

In Beta-Verteilung wird eine allgemeinere Dichtefunktion $ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}\! $ definiert. Wie hängen die hier definierte spezielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) $

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

  1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. WikipediaEn: Beta distribution
  4. Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung
  5. xycoon: Beta Distribution
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