Beta-Verteilung (standardisiert): Unterschied zwischen den Versionen
Kowa (Diskussion | Beiträge) Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Kowa (Diskussion | Beiträge) Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
''' | =Definition= | ||
Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X</math> heißt '''normalisiert beta-verteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch | |||
die [[Dichtefunktion]] | |||
<math>f_{X,\alpha,\beta}(x)= | |||
\begin{cases} | |||
\frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\ | |||
0 & \mbox{sonst } | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
beschrieben werden kann. <math>\Beta(\alpha,\beta)\!</math> ist dabei die [[Beta-Funktion]]. | |||
<math>\alpha\,</math> und <math>\beta\,</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen. | |||
=Eigenschaften einer normalisiert beta-verteilten Zufallsgröße= | |||
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung | | {{Wahrscheinlichkeitsverteilung | | ||
| Zeile 27: | Zeile 43: | ||
mode =<math>c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}</math><br> | mode =<math>c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}</math><br> | ||
<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1\!</math>| | <math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\!</math>| | ||
proof_mode =| | proof_mode =| | ||
| Zeile 66: | Zeile 82: | ||
proof_char =| | proof_char =| | ||
}} | }} | ||
=Zusammenhang zwischen normalisierter und allgemeiner Beta-Verteilung= | |||
Die Dichtefunktionen der [[Beta-Verteilung|allgemeinen Beta-Verteilungen]] können durch einfache Linear-Transformationen aus den | |||
Dichtefunktionen der hier definierten [[Beta-Verteilung (normalisiert)|normalisierten Beta-Verteilungen]] erzeugt werden: | |||
<math> f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) | |||
= \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) | |||
</math> | |||
Man beachte: <math>f_{X,\alpha,\beta,a,b}\!</math> ist in [[Beta-Verteilung]] definiert. | |||
([[Satz:Zusammenhang zwischen allgemeiner und normalisierter Beta-Verteilung|Beweis]]) | |||
=Quellen= | =Quellen= | ||
Version vom 2. Juni 2006, 16:39 Uhr
Definition
Eine stetige Zufallsgröße $ X $ heißt normalisiert beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
$ f_{X,\alpha,\beta}(x)= \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
beschrieben werden kann. $ \Beta(\alpha,\beta)\! $ ist dabei die Beta-Funktion.
$ \alpha\, $ und $ \beta\, $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
Eigenschaften einer normalisiert beta-verteilten Zufallsgröße
| Parameter | $ \alpha \in ]0,\infty[ $ $ \beta \in ]0,\infty[ $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $ |
| Modus | $ c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} $ $ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{1}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}} $ |
Zusammenhang zwischen normalisierter und allgemeiner Beta-Verteilung
Die Dichtefunktionen der allgemeinen Beta-Verteilungen können durch einfache Linear-Transformationen aus den Dichtefunktionen der hier definierten normalisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:
$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $
Man beachte: $ f_{X,\alpha,\beta,a,b}\! $ ist in Beta-Verteilung definiert.
(Beweis)
