Beta-Verteilung (standardisiert)

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Parameter
[math]\alpha \in ]0,\infty[[/math]
[math]\beta \in ]0,\infty[[/math]
Dichtefunktion
[math] f_X(x) := \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit
[math]f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\![/math]
Träger
[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \![/math]
Modus
[math]c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}[/math]
[math]\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \gt 1\![/math]
Erwartungswert
[math]\mu(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}[/math]
Varianz
[math]\operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}[/math]
Standardabweichung
[math]\sigma(X) = \frac{1}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}[/math]

Quellen