Diskursuniversum

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In der Mathematik und insbesondere in der Logik und der Mengenlehre bezeichnet man die Gesamtheit aller Objekte, für die Aussagen gemacht werden, häufig als Diskursuniversum oder kurz Universum. Der Wahrheitswert einer Aussage hängt immer vom zugrundeliegenden Universum ab. Zum Beispiel ist die Aussage „Es gibt ein kleinstes Element“ für die natülichen Zahlen wahr und für die ganzen Zahlen falsch.

Neben dem Begriff Diskursuniversum gibt es weitere Begriffe, wie Gegenstandsbereich oder Individuenbereich. Im angelsächsischem Sprachraum haben sich die Begriffe universe of discourse (Diskursuniversum), domain of discourse (Diskursbereich, Diskursdomäne) oder auch universal set (Universalmenge) eingebürgert.

Ein mögliches Universum der Mengenlehre

In einem Universum gibt es meist unterschiedliche Arten von Objekten. Beispielsweise beinhaltet das Universum einer geometrischen Theorie üblicherweise Punkte, Geraden und Ebenen. Auch in einem Universum der Mengenlehre werden zumeist mindestens zwei Arten von Objekten unterschieden Individuen und Container (siehe Abbildung). Container (Klassen) fassen beliebig viele Individuen (z. B. Urelemente) zu einer Einheit zusammen. Spezielle Klassen (Mengen) – aber beileibe nicht alle Klassen (vgl. Russellsche Antinomie) – sind ebenfalls Individuen und können damit auch in Klassen enthalten sein.

In der nachfolgenden Definition wird der Begriff Diskursuniversum (universe of discourse) auch für informationstechnische Systeme – wie etwa Datenbanksysteme, Web-Anwendungen, Computerspiele etc. – eingeführt. Für derartige Systeme ist dieser Begriff weniger verbreitet. Man spricht zumeist von Datentypen (data types) oder – vor allem in der theoretischen Informatik – von Typentheorie (type theory).[1] Das Universum eines informationstechnischen Systems ist durch die Gesamtheit aller zugehörigen Datentypen festgelegt (nicht jedoch durch die Gesamtheit aller Objekte, die zu einem bestimmten Zeitpunkt im System existieren). Es enthält alle Objekte des Systems, die potentiell erzeugt, manipuliert und auch wieder zerstört werden können.

Datum der vermutlich ersten Definition des Logikbegriffs „Universum“.

Der Begriff „Universum“ wurde laut Charles Sanders Peirce und Christine Ladd-Franklin[2] im Jahr 1846 von Augustus De Morgan in den Transactions of the Cambridge Philosophical Society[3] für die mathematische Logik eingeführt. Am 9. November 1846 wurde der Artikel tatsächlich von De Morgan zur Publikation eingereicht, aber der Sammelband, in dem der Artikel enthalten ist, wurde erst 1849 publiziert. Im Jahre 1847 veröffentlichten De Morgan und George Boole zwei bahnbrechende Bücher, in denen der Begriff Universum – sehr wahrscheinlich unabhängig voneinander – ebenfalls eingeführt wird: “Formal Logic[4] (De Morgan) und “The Mathematical Analysis of Logic[5] (Boole). Dies waren vermutlich die ersten Veröffentlichungen zu diesem Thema. Sowohl De Morgan als auch Boole legten viel Wert auf den Komplementbegriff: Ein Klasse K (De Morgan spricht vom „Namen“ K) und ihr Komplement Nicht-K haben keine gemeinsamen Elemente, enthalten aber zusammen alle Elemente des zugrundeliegenden Universums.

1854 hat George Bool in seinem zweiten großen Werk “An Investigation of The Laws of Thought[6] den noch heute üblichen Begriff “universe of discourse” geprägt, welcher 1902 erstmals Eingang in ein Wörterbuch fand. Diesen Eintrag haben der begnadete Philosoph, Logiker und Mathematiker Charles Sanders Peirce sowie seine hochbegabte Schülerin Christine Ladd-Franklin verfasst.[2] (Christine Ladd-Franklin war die erste Frau, die eine Promotion in Mathematik geschrieben hat, allerdings wurde diese erst 44 Jahre später formal anerkannt.[7])

1 Definition „Universe“ (De Morgan (1846), S. 380[3])

Die vermutlich erste Definition des Begriffes „Universum“ für die Logik.

Writers on logic, it is true, do not find elbow-room enough in anything less than the whole universe of possible conceptions; but the universe of a particular assertion or argument may be limited in any matter expressed or understood. And this without limitation or alteration of any one rule of logic.

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By not dwelling upon this power of making what we may properly (inventing a new technical name) call the universe of a proposition, or of a name, matter or express definition, all rules remaining the same, writers on logic deprive themselves of much useful illustration.


Übersetzung (W. Kowarschick)
Es ist wahr, dass Logik-Autoren nicht genug Ellbogenfreiheit in weniger als dem gesamten Universum der möglichen Konzepte vorfinden; aber das Universum einer bestimmten Aussage oder eines bestimmten Arguments kann auf jede Art eingeschränkt werden, die ausgedrückt oder verstanden werden kann. Und das ohne Einschränkung oder Änderung irgendeiner logischen Regel.

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Wenn Logik-Autoren nicht näher auf dieses Potential eingehen, mittels einer inhaltlichen oder expliziten Definition das zu machen, was wir angemessenerweise (indem wir einen neuen technischen Begriff erfinden) das Universum einer Aussage oder eines Namens nennen, wobei alle Regeln dieselben bleiben, berauben sie sich selbst einer sehr nützlichen Darstellungsmöglichkeit.

2 Definition „Universe“ (De Morgan (1847), S. 37, 38, 41, 55[4])

Let us take a pair of contrary names, as man and not-man. It is plain that between them they represent everything imaginable or real, in the universe. But the contraries of common language usually embrace, not the whole universe, but some one general idea. Thus, of men, Briton and alien are contraries: every man must be one of the two, no man can be both. Not-Briton and alien are identical names, and so are not-alien and Briton.

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Names may be represented by the letters of the alphabet: thus A, B, &c., may stand for any names we are considering, simple or complex. The contraries may be represented by not-A, not-B, &c., but I shall usually prefer to denote them by the small letters a, b, &c. Thus, everything in the universe (whatever that universe may embrace) is either A or not-A, either A or a, either B or b, &c. Nothing can be both B and b; every not-B is b, and every not-b is B: and so on.

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But if we remember that in many, perhaps most, propositions, the range of thought is much less extensive than the whole universe, commonly so called, we begin to find that the whole extent of a subject of discussion is, for the purpose of discussion, what I have called a universe, that is to say, a range of ideas which is either expressed or understood as containing the whole matter under consideration. In such universes, contraries are very common: that is, terms each of which excludes every case of the other, while both together contain the whole.

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By the universe of a proposition, I mean the whole range of names in which it is expressed or understood that the names in the proposition are found. If there be no such expression nor understanding, then the universe of the proposition is the whole range of possible names. If, the universe being the name U, we have a right to say ' every X is Y ,' then we can only extend the universe so as to make it include all possible names, by saying 'Every X which is U is one of the Ys which are Us,' or something equivalent.

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Names which are contraries in one universe, are not necessarily so in a larger one. Thus in geometry, when the universe is one plane, pairs of straight lines are either parallels or intersectors, and never both: parallels and intersectors are then contraries. But when the student comes to solid geometry, in which all space is the universe, there are lines which are neither parallels nor intersectors; and these words are then not contraries. But names which are contraries in the larger and containing universe, are necelsarily contraries in the smaller and contained, unless the smaller universe absolutely exclude one name, and then the other name is the universe.


Übersetzung (W. Kowarschick)
Lassen Sie uns ein Paar gegensätzlicher Namen nehmen, wie Mensch und Nicht-Mensch. Es ist offensichtlich, dass sie zusammen alles Vorstellbare oder Reale im Universum repräsentieren. Aber Gegensätze umfassen in der Gemeinsprache üblicherweise nicht das gesamte Universum, sondern eine allgemeine Idee. Auf diese Weise sind, hinsichtlich Menschen, Briten und Ausländer Gegensätze: Jeder Mensch muss eines von beiden sein, niemand kann beides sein. Nicht-Briten und Ausländer sind identische Namen, genauso wie Nicht-Ausländer und Briten.

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Namen können durch die Buchstaben des Alphabets repräsentiert werden: So können A, B etc. für alle Namen stehen, die wir betrachen, einfach oder komplex. Die Gegenteile könnten durch Nicht-A, Nicht-B etc. repräsentiert werden, aber normalerweise bevorzuge ich, sie durch Kleinbuchstaben a, b etc. zu kennzeichnen. So is alles im Universum (was auch immer das Universum umfasst) entweder A oder Nicht-A, entweder A oder a, entweder B oder b etc. Nichts kann beides sein, B und b; jedes Nicht-B ist b und jedes Nicht-b ist b: und so weiter.

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Aber wenn wir uns daran erinnern, dass in vielen, möglicherweise den meisten Aussagen der Bedeutungsbereich viel weniger das gesamte Universum ist, wie es üblicherweise verstanden wird, fangen wir an zu erkennen, dass der gesamte Umfang eines Gesprächsgegenstandes, für den Zweck der Diskussion das ist, was ich Universum genannt habe, das heißt ein Bereich von Ideen, der entweder formuliert oder nachvollziehbar den gesamten Betrachtungsgegenstand enthält. In derartigen Universen sind Gegensätze ziemlich üblich: Das heißt, Terme von denen jeder einzelne jeden Einzelfall des anderen ausschließt, während beide zusammen das Gesamte beinhalten.

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Unter dem Universum einer Aussage verstehe ich den gesamten Bereich, in dem sie formuliert ist oder in dem vorausgesetzt wird, dass die Namen in der Aussage gefunden werden. Wenn es keine derartige Formulierung oder Voraussetzung gibt, dann ist das Universum der Aussage der gesamte Bereich möglicher Namen. Wenn das Universum der Name U ist und wir somit das Recht haben ‚Jedes X ist Y‘ zu sagen, dann können wir das Universum nur erweitern, indem wir die Aussage so machen, dass sie alle möglichen Namen enthält, indem wir ‚Jedes X, welches U ist, ist eines der Ys die Us sind‘ sagen oder etwas Äquivalentes.

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Namen, die in einem Universum Gegenteile voneinander sind, sind dies nicht notwendigerweise auch in einem größeren Universum. So sind in der Geometrie, wenn das Universum eine Ebene ist, Paare von geraden Linien entweder Parallelen oder Schneidende, aber niemals beides. Parallelen und Schneidende sind hier Gegenteile voneinander. Wenn aber ein Student zur soliden Geometrie kommt, in der der gesamte Raum das Universum ist, gibt es Linien, die weder Parallelen noch Schneidende sind; dann sind diese Wörter keine Gegenteile voneinander. Aber Namen, die im größeren und beinhaltenden Universum Gegenteile voneinander sind, sind dies notwendigerweise auch in den kleineren und enthaltenen, sofern das kleinere Universum nicht einen Namen ganz ausschließt und dann der andere Name das Universum ist.

3 Definition „Universe“ (Boole (1847), S. 15[5])

Let us employ the symbol 1, or unity, to represent the Universe, and let us understand it as comprehending every conceivable class of objects whether actually existing or not, it being premised that the same individual may be found in more than one class, inasmuch as it may possess more than one quality in common with other individuals.


Übersetzung (W. Kowarschick)
Lassen Sie uns das Symbol oder die Einheit 1 dazu benutzen, das Universum zu repräsentieren, und lassen Sie es uns so verstehen, dass es jede denkbare Klasse von Objekten umfasst, ob sie tatsächlich existieren oder auch nicht, wobei vorausgesetzt wird, dass dasselbe Individuum in mehr als einer Klasse gefunden werden kann, genauso wie es mehr als eine Eigenschaft gemeinsam mit anderen Individuen besitzen kann.

4 Definition „Universe of Discourse“ (Boole (1854), S. 42[6])

George Boole hat den heute üblichen Begriff “Universe of Discourse” geprägt.

In every discourse, whether of the mind conversing with its own thoughts, or of the individual in his intercourse with others, there is an assumed or expressed limit within which the subjects of its operation are confined. The most unfettered discourse is that in which the words we use are understood in the widest possible application, and for them the limits of discourse are co-extensive with those of the universe itself. But more usually we confine ourselves to a less spacious field. Sometimes, in discoursing of men we imply (without expressing the limitation) that it is of men only under certain circumstances and conditions that we speak, as of civilized men, or of men in the vigour of life, or of men under some other condition or relation. Now, whatever may be the extent of the field within which all the objects of our discourse are found, that field may properly be termed the universe of discourse.

Furthermore, this universe of discourse is in the strictest sense the ultimate subject of the discourse.


Übersetzung (W. Kowarschick)
In jedem Diskurs, ob vom Gehirn, das mit seinen eigenen Gedanken spricht, oder vom Individuum im Umgang mit anderen, gibt es eine angenommene oder formulierte Begrenzung, von welcher die Themen dieses Vorgangs beschränkt werden. Der freieste Diskurs ist derjenige, in dem die Wörter, die wir verwenden, im weitest möglichen Einsatzbereich verstanden werden, und für diese sind die Grenzen des Diskurses inhaltsgleich mit denen des Univerums selbst. Üblicherweise beschränken wir uns aber selbst auf ein weniger ausgedehntes Feld. Manchmal, wenn wir über Menschen sprechen, implizieren wir (ohne die Beschränkung zu äußern), dass es nur um Menschen unter bestimmten Umständen und Bedingungen geht, wie um zivilisierte Menschen oder um Menschen auf der Höhe ihrer Schaffenskraft um Menschen unter irgendwelchen anderen Bedingungen oder Beziehungen. Unabhängig davon, welchen Umfang das Gebiet hat, in welchem alle Objekte unseres Diskurses gefunden werden, dieses Feld sollte angemessenerweise Diskursuniversum genannt werden.

Darüber hinaus ist dieses Diskursuniverum im strengsten Sinne das ulimative Thema des Diskurses.

5 Definition „Universe of Discourse“ (Peirce, Ladd-Franklin (1902)[2])

Universe (in logic) of discourse, of a proposition, &c. In every proposition the circumstances of its enunciation show that it refers to some collection of individuals or of possibilities, which cannot be adequately described, but can only be indicated as something familiar to both speaker and auditor. At one time it may be the physical universe of sense (1) [The collection of all material things; Anm.: W. Kowarschick] , at another it may be the imaginary ‘world’ of some play or novel, at another a range of possibilities.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Diskursuniversum (in der Logik), Universum einer Aussage etc. Für jede Aussage zeigen die Umstände seiner Enunziation [Erklärung, Äußerung; Anm.: W. Kowarschick], dass er auf irgendeine Sammlung von Individuen oder Möglichkeiten verweist, die nicht adäquat beschrieben, sondern nur als etwas angegeben werden kann, das sowohl dem Sprecher, als auch dem Autor bekannt ist. Zu einem Zeitpunkt kann es sich um ein physisches Universum im Sinne von (1) [Die Sammlung aller materiellen Dinge; Anm.: W. Kowarschick] handeln, zu einem anderen Zeitpunkt kann es die imaginäre ‚Welt‘ irgendeines Spiels oder einer Novelle sein, wann anders eine Reihe von Möglichkeiten.

5.1 Anmerkungen von Peirce und Ladd-Franklin

The term was introduced by De Morgan in 1846 (Cambr. Philos. Trans., viii 380) but De Morgan never showed that he fully comprehended it.

Übersetzung (W. Kowarschick) Der Begriff wurde 1846 von De Morgan eingeführt (Cambr. Philos. Trans., viii 380), aber De Morgan hat niemals gezeigt, dass er ihn vollkommen verstanden hat.

6 Definition „Universe of Discourse“ (Menne (1973), S. 28[8])

...; komplementäre Begriffe erschöpfen zusammen den gesamten Diskussionsbereich, das sogenannte universe of discourse, d. h. den Bereich der Gegenstände, der überhaupt zur Debatte steht. Beispiele: Mensch – Nichtmensch; Europäer – Nichteuropäer; Metall – Nichtmetall.

Anmerkungen
Diese Definition des Begriffs „Universe of Discourse“ geht auf die Definition des Begriffs „Universe“ von Augustus De Morgan aus dem Jahr 1847 zurück (siehe dessen Definition weiter oben).[4]

Die Beispiele Europäer – Nichteuropäer und Metall – Nichtmetall sind zweideutig. Üblicherweise versteht man unter Nichteuropäern Menschen, die nicht aus Europa stammen und unter Nichtmetallen chemische Elemente, die keine Metalle sind. Wenn allerdings der „Universe of Discourse“ alles Realseiendes umfasst (Menne, S. 29; er skizziert dort den arbor Porphyriana von Porphyrios von Tyrus (233 – 300), dessen Wurzel laut Menne das „Realseiende“ ist), muss beispielsweise auch ein Stuhl sowohl als Nichteuropäer als auch als Nichtmetall aufgefasst werden.

7 Definition „Universe of Discourse“, „Gegenstandsbereich“ (Menne (1973), S. 77[8])

universe of discourse: Bereich der Dinge, die überhaupt in Betracht kommen sollen

Gegenstandsbereich: Einschränkung des universe of discourse auf die Dinge, die zur Diskussion stehen, wie beisipelsweise Raubtiere, Landtiere, Tiere, Lebewesen oder noch allgemeinere Gegenstandsbereiche wenn man über Löwen und Nicht-Löwen sprechen möchte

Anmerkung

Menne geht im Anschluss an seine zweite Definition des Begriffs „Universe of Discourse“ auf die im vorangehenden Abschnitt skizzierte Problematk ein. Er verdeutlicht, dass nicht der Komplementärbegriff das Universum bestimmt, sondern umgekehrt das Universum den Komplementärbegriff (vgl. Quine (1954) bzw. Quine (1995), S. 51[9][10]). Bei der Bedeutung des Komplementsbegriffs kommt es auf die Wahl des Gegenstandsbereiches an. Wenn der Gegenstandsbereich beispielsweise alle Raubtiere umfasst, ist ein Nichtlöwe stets ein Raubtier, wie z. B. ein Wolf, ein Leopard oder ein Fuchs. Wenn man dagegen die Landtiere betrachtet, gehören auch Elefanten, Igel und Regenwürmer zu den Nichtlöwen. Menne gibt weitere Nichtlöwen-Beispiele für die Gegenstandsbereiche Tiere, Lebewesen, körperliche Dinge, Gegenstände (zu denen er auch Dreiecke, Rotkäppchen und Zeus zählt) und schließlich für den Bereich aller überhaupt möglichen Dinge an. (Anmerkung WK: Es ist nicht klar, was der Bereich aller überhaupt möglichen Dinge überhaupt sein soll. Enthält sich der Bereich aller überhaupt möglichen Dinge selbst? Laut der Zweite Cantorschen Antinomie ist dies aufgrund des Satzes von Cantor nicht möglich, da es dann einen größeren Bereich als den Bereich aller überhaupt möglichen Dinge gäbe.)

Menne trifft folgende Vereinbarung: Ist der Gegenstandsbereich nicht ausdrücklich eingeschränkt, so soll dieser weiteste Bereich genommen werden, der alle die Gegenstände umfasst, die nicht in sich widerspruchsvoll sind (wie viereckige Kreise zum Beispiel). Er betont allerdings, dass im normalen Sprachgebrauch viele Gegenstandsbereiche implizit vorgegeben sind, wie z. B. bei Nichtrauchern, Nichtschwimmern, Nichtmetallen etc.

TO BE DONE

Definition Definition Hermes Logik

8 Definition „Konzeptuelles Schema“ (Kern-Bausch, Jeckle (2001), S. 473[11])

Ein konzeptuelles Schema beschreibt den relevanten Informationsbereich, den die Datenbank repräsentiert (auch Miniwelt oder Universe of Discourse (UoD) genannt), insbesondere auch die Gesetzmäßigkeiten, denen die Information unterliegt.

9 Definition „Universum (Mathematik)“ (W. Kowarschick (2019))

In einer mathematischen Theorie (Logik, Mengenlehre u. Ä.) gibt es Bereiche, für die Universen definiert werden können:

  • Objektsprache: Das Term-Universum umfasst alle Terme der Theorie, das Herbrand-Universum umfasst alle Grundterme, d. h. alle variablenfreien Terme der Theorie, das Ausdruck-Universum umfasst alle Ausdrücke/Formeln der Theorie. Dabei werden die Terme nach gewissen vorgegebenen Regeln aus Konstantenbezeichnern, Funktionsbezeichnern, Variablenbezeichnern und evtl. Klammern und weitere Typen von Bezeichnern gebildet. Aus den Termen, Prädikatsbezeichnern sowie prädikatenlogischen, mengentheoretischen oder ähnlichen Operatoren werden nach weiteren Regeln die Ausdrücke/Formeln gebildet.
  • Interpretation: Eine Interpretation weist den Konstantenbezeichnern, Funktionsbezeichnern, Relationsbezeichnern und (mittels Variablenbelegungen) auch den Variablenbezeichnern, die in den Termen und Ausdrücken der Objektsprache vorkommen, konkrete Werte zu. Das zugehörige Universum, dem diese Werte entstammen, heißt üblicherweise Individuenbereich, Dingbereich oder auch Trägermenge. Mit Hilfe einer Interpretation und Variablenbelegungen können die Ausdrücke zu Aussagen konkretisiert werden, d. h., es können formale Aussagen über Elemente des Induviduenbereichs erzeugt werden, die – zumindest im Falle einer zweiwertigen Logik – entweder wahr oder falsch sind.

Anmerkungen:
Einer mathematischen Theorie liegen nur ein paar wenige Universen der Objektsprache zugrunde (zuvor wurden drei Arten von derartigen Universen definiert), i. Allg. aber viele, meist sogar unvorstellbar viele unterschiedliche Individuenbereiche.

Das Herbrand-Universum ist ein spezielles Universum der Objektsprache, das auch als Individuenbereich zum Einsatz kommt, um die sogenannte Herbrand-Semmantik zu definieren.

10 Definition „Universum (Informatik)“ (W. Kowarschick (2019))

Einem informationstechnischen System liegt im Allgemein genau ein Universum zugrunde. Es enthält alle Werte und Objekte, die vom System (potentiell) verarbeitet werden können.

Die Menge aller Objekte, auf die zu einem Zeitpunkt zugegriffen werden kann, ändert sich im Laufe der Zeit, da Objekte erzeugt, geändert und auch wieder gelöscht werden können.

11 Definition „Universe of Discourse“ (Langenscheidt Online-Wörterbuch[12])

Universe of Discourse (Übersetzung „Englisch → Deutsch“): in logic: geistiger Raum einer Abhandlung

12 Quellen

  1. {{#var:beschreibung}} (Buch)
  2. 2,0 2,1 2,2 {{#var:beschreibung}} (Sammelband)
  3. 3,0 3,1 {{#var:beschreibung}} (Sammelband)
  4. 4,0 4,1 4,2 {{#var:beschreibung}} (Buch)
  5. 5,0 5,1 {{#var:beschreibung}} (Buch)
  6. 6,0 6,1 {{#var:beschreibung}} (Buch)
  7. {{#var:beschreibung}} (Buch), S. 123, S. 144
  8. 8,0 8,1 Menne (1973): Albert Menne; Einführung in die Logik; Reihe: Uni-Taschenbücher; Nummer: 34; Auflage: 2; Verlag: Francke Verlag; Adresse: München; ISBN: 3-7720-0005-3; 1973; Quellengüte: 5 (Buch)
  9. {{#var:beschreibung}} (Sammelband)
  10. Quine (1995): Willard Van Orman Quine; Selected Logic Papers – Enlarged Edition; Auflage: 2; Verlag: Harvard University Press; Adresse: Cambridge, London; ISBN: 978-0674798366, 0-674-79836-8, 0-674-79837-6; Web-Link; 1995; Quellengüte: 5 (Buch), S. 51
  11. Kern-Bausch, Jeckle (2001): Lore Kern-Bausch und Mario Jeckle; Kapitel 14: Datenbanken; in: Taschenbuch der Informatik; Hrsg.: Uwe Schneider und Dieter Werner; Auflage: 4; Verlag: Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag; ISBN: 3446217533; 2001; Quellengüte: 5 (Buchartikel)
  12. {{#var:beschreibung}} (Web), Suchanfrage

13 Siehe auch