Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==


Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = D(a,b,c)\,</math> heißt '''dreiecksverteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>\textstyle{X = D(a,b,c)}</math> heißt '''dreiecksverteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
die [[Dichtefunktion]]  
die [[Dichtefunktion]]  


<math>f_X(x) :=
<div class="formula"><math>f_X(x) = f_{D(a,b,c)}(x) :=
         \begin{cases}  
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beschrieben werden kann.


<math>a \in ]-\infty,\infty[</math>, <math>b \in ]a,\infty[</math> und <math>c \in ]a,b[</math> heißen Parameter der Verteilung.
beschrieben werden kann. <math>\textstyle{a \in ]-\infty,\infty[}</math>, <math>\textstyle{b \in ]a,\infty[}</math> und <math>\textstyle{c \in ]a,b[}</math> heißen Parameter der Verteilung.


(vgl. [[Standard-Dreiecksverteilung]])
(vgl. [[Standard-Dreiecksverteilung]])


=Eigenschaften einer dreiecksverteilten Zufallsgröße=
==Eigenschaften einer dreiecksverteilten Zufallsgröße==


{{Wahrscheinlichkeitsverteilung  
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung  
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<math>1-m</math> beschreibt den prozentualen Abstand von <math>c</math> zu <math>b</math> bzgl. <math>a</math>
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                 f_X(x) :=
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               F_X(x) =  
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                     0+\frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2}      & \mbox{wenn } a \le x \le c \\  
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                     1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2}  & \mbox{wenn } c < x \le b \\
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                     1                                                         & \mbox{wenn } b < x
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| mode      =<math>\operatorname{md}_X = \{c\} = \{a+md\},\,f_X(c)=\frac{2}{b-a}=\frac{2}{d}\!</math>
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| mean      =<math>\mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3}</math>
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                 F_X^{-1}(0,5) =
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                     a+\frac{\sqrt{2d(c-a)}}{2} = a+d\frac{\sqrt{2m}}{2}    & \mbox{wenn } 0{,}5 < m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} < c\\
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                     a+\frac{d}{2} = b-\frac{d}{2}                           & \mbox{wenn } m = 0{,}5 \mbox{ bzw. } c = \frac{b+a}{2}\\  
                     a+\frac{d}{2} = b-\frac{d}{2}                                     & \mbox{wenn } m = 0{,}5 \mbox{ bzw. } c = \frac{b+a}{2}\\  
                     b-\frac{\sqrt{2d(b-c)}}{2} = b-d\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2}  
                     b-\frac{ {\sqrt{2d(b-c)} } }{2} = b-d\frac{ {\sqrt{2(1-m)} } }{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2}
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| variance  =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18}</math>
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| sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{ {2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} } = \frac{d}{6} \sqrt{ {2(1-m+m^2)} }</math>
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=Zusammenhang zwischen allgemeiner und ard-Dreiecksverteilung=
==Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung==


Die [[Standard-Dreiecksverteilung]] hat eine speziellere Dichtefunktion <math>f_{D(c)}\!</math>.
Die [[Standard-Dreiecksverteilung]] hat eine speziellere Dichtefunktion <math>\textstyle{f_{D(c)}}</math>.
Wie hängen die hier definierte allgemeiner Form und die dort definierte spezieller Form zusammen?
Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?


Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Standard-Dreiecksverteilung]]
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Standard-Dreiecksverteilung]]
auch eine Dichtefunktion einer [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] ist:
auch eine Dichtefunktion einer [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] ist:


<math>f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c}(x) \!</math>  
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Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] durch Linear-Transformationen aus entsprechenden
Dichtefunktionen der [[Standard-Dreiecksverteilung]]en erzeugt werden:


Umgekehrt können alle
<div class="formula"><math>f_{D(a,b,c)}(x)
Dichtefunktionen von [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] durch Linear-Transformationen aus entsprechenden
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([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
      = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D(c}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
</math>


([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
==Quellen==
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
#[[WikipediaEn: Triangular distribution]]
#[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Dreiecksverteilung Statwiki HU Berlin: Dreiecksverteilung]


=Quellen=
==Siehe auch==
*[[Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik]]
# {{Vgl|Beta-Verteilung}}
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_distribution Wikipedia (en): Triangular distribution]
*[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Dreiecksverteilung Statwiki HU Berlin: Dreiecksverteilung]


[[Kategorie:Mathematische Definition]]
[[Kategorie:Mathematische Definition]]
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Aktuelle Version vom 24. April 2018, 16:34 Uhr

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Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ \textstyle{X = D(a,b,c)} $ heißt dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ f_X(x) = f_{D(a,b,c)}(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann. $ \textstyle{a \in ]-\infty,\infty[} $, $ \textstyle{b \in ]a,\infty[} $ und $ \textstyle{c \in ]a,b[} $ heißen Parameter der Verteilung.

(vgl. Standard-Dreiecksverteilung)

Eigenschaften einer dreiecksverteilten Zufallsgröße

Parameter
(vgl. Parameter der
standardisierten
Dreiecksverteilung)		$ a \in ]-\infty,\infty[ $
$ b \in ]a,\infty[ $
$ c \in ]a,b[ $

$ d := b-a\! $
$ m := \frac{c-a}{b-a} \in ]0,1[,\,1-m=\frac{b-c}{b-a},\,c = a+md = b - (1-m)d $

$ m $ beschreibt den prozentualen Abstand von $ c $ zu $ a $ bzgl. $ b $

$ 1-m $ beschreibt den prozentualen Abstand von $ c $ zu $ b $ bzgl. $ a $
Dichtefunktion
$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit
$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $
Träger
$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $
Verteilungsfunktion
$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1 & \mbox{wenn } b < x \end{cases} $
Modus
$ \operatorname{md}_X = \{c\} = \{a+md\},\,f_X(c)=\frac{2}{b-a}=\frac{2}{d}\! $
Erwartungswert
$ \mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3} $
p-Quantil
$ F_X^{-1}(p) = \begin{cases} a+d\sqrt{mp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le m \\ b-d\sqrt{(1-m)(1-p)} & \mbox{wenn } m < p \le 1 \end{cases} $
Median
$ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{ {\sqrt{2d(c-a)} } }{2} = a+d\frac{ {\sqrt{2m} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 < m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} < c\\ a+\frac{d}{2} = b-\frac{d}{2} & \mbox{wenn } m = 0{,}5 \mbox{ bzw. } c = \frac{b+a}{2}\\ b-\frac{ {\sqrt{2d(b-c)} } }{2} = b-d\frac{ {\sqrt{2(1-m)} } }{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases} $
Varianz
$ \operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18} $
Standardabweichung
$ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{ {2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} } = \frac{d}{6} \sqrt{ {2(1-m+m^2)} } $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung

Die Standard-Dreiecksverteilung hat eine speziellere Dichtefunktion $ \textstyle{f_{D(c)}} $. Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:

$ f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x) $

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:

$ f_{D(a,b,c)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{D(m)}\left(\frac{x-a}{d}\right) $

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

  1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  3. WikipediaEn: Triangular distribution
  4. Statwiki HU Berlin: Dreiecksverteilung

Siehe auch

  1. Beta-Verteilung
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