Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Zeile 1: Zeile 1:
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung  
  name      =Dreiecksverteilung|
| name      =Dreiecksverteilung
  type      =Dichte|
| type      =Dichte
  pdf_image  =|
| pdf_image  =
  cdf_image  =|
| cdf_image  =
 
| parameters =<math>a \in ]-\infty,\infty[</math><br><math>b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a</math><br><math>c \in ]a,b[</math><br><br><math>d := b-a\!</math><br><math>m := \frac{c-a}{d} \in ]0,1[,\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d</math><br>
  parameters =<math>a \in ]-\infty,\infty[</math><br><math>b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a</math><br><math>c \in ]a,b[</math><br><br><math>d := b-a\!</math><br><math>m := \frac{c-a}{d} \in ]0,1[,\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d</math><br>
<math>m</math> beschreibt den prozentualen Abstand von <math>c</math> zu <math>a</math> bzgl. <math>b</math><br>
<math>m</math> beschreibt den prozentualen Abstand von <math>c</math> zu <math>a</math> bzgl. <math>b</math><br>
<math>1-m</math> beschreibt den prozentualen Abstand von <math>c</math> zu <math>b</math> bzgl. <math>a</math>|
<math>1-m</math> beschreibt den prozentualen Abstand von <math>c</math> zu <math>b</math> bzgl. <math>a</math>
  proof_parameters = (vgl. Parameter der <br> standardisierten<br>[[Dreiecksverteilung (standardisiert)|Dreiecksverteilung]])|
| annotations_parameters = (vgl. Parameter der <br> standardisierten<br>[[Dreiecksverteilung (standardisiert)|Dreiecksverteilung]])


  pdf        =<math>
| pdf        =<math>
                 f_X(x) :=
                 f_X(x) :=
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
Zeile 17: Zeile 16:
                     0                                                & \mbox{sonst }
                     0                                                & \mbox{sonst }
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>
  proof_pdf =|
| continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>
 
| support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!</math>
  continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>|
| cdf        =<math>
  proof_continuity =|
 
  support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!</math>|
  proof_support =|
  cdf        =<math>
               F_X(x) =  
               F_X(x) =  
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
Zeile 33: Zeile 27:
                     1                                                      & \mbox{wenn } b < x
                     1                                                      & \mbox{wenn } b < x
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>
  proof_cdf =|
| mode      =<math>\operatorname{md}_X = \{c\} = \{a+md\},\,f_X(c)=\frac{2}{d}\!</math>
 
| mean      =<math>\mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3}</math>
  mode      =<math>\operatorname{md}_X = \{c\} = \{a+md\},\,f_X(c)=\frac{2}{d}\!</math>|
| quartile  = <math>
  proof_mode =|
 
  mean      =<math>\mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3}</math>|
  proof_mean =|
 
  quartile  = <math>
                 F_X^{-1}(p) =
                 F_X^{-1}(p) =
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
Zeile 48: Zeile 36:
                     b-d\sqrt{(1-m)(1-p)}  & \mbox{wenn } m < p \le 1  
                     b-d\sqrt{(1-m)(1-p)}  & \mbox{wenn } m < p \le 1  
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>
  proof_quartile =|
| median    =<math>
 
  median    =<math>
                 F_X^{-1}(0,5) =
                 F_X^{-1}(0,5) =
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
Zeile 58: Zeile 44:
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>|
  proof_median =|
| variance  =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18}</math>
 
| sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{d}{6} \sqrt{2(1-m+m^2)}</math>
  variance  =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18}</math>|
  proof_variance =|
 
  sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{d}{6} \sqrt{2(1-m+m^2)}</math>|
  proof_sigma =|
 
  skewness      =|
  proof_skewness =|
 
  kurtosis      =|
  proof_kurtosis =|
 
  entropy      =|
  proof_entropy =|
 
  moment      =|
  proof_moment =|
 
  centralmoment      =|
  proof_centralmoment =|
 
  mgf      =|
  proof_mgf =|
 
  char      =|
  proof_char =|
}}
}}


Version vom 4. Oktober 2006, 17:44 Uhr


Parameter
(vgl. Parameter der
standardisierten
Dreiecksverteilung)		$ a \in ]-\infty,\infty[ $
$ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $
$ c \in ]a,b[ $

$ d := b-a\! $
$ m := \frac{c-a}{d} \in ]0,1[,\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d $

$ m $ beschreibt den prozentualen Abstand von $ c $ zu $ a $ bzgl. $ b $

$ 1-m $ beschreibt den prozentualen Abstand von $ c $ zu $ b $ bzgl. $ a $
Dichtefunktion
$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{d(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{d(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit
$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $
Träger
$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $
Verteilungsfunktion
$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{d(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{d(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1 & \mbox{wenn } b < x \end{cases} $
Modus
$ \operatorname{md}_X = \{c\} = \{a+md\},\,f_X(c)=\frac{2}{d}\! $
Erwartungswert
$ \mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3} $
Median
$ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{\sqrt{2d(c-a)}}{2} = a+d\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} \le c\\ b-\frac{\sqrt{2d(b-c)}}{2} = b-d\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases} $
Varianz
$ \operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18} $
Standardabweichung
$ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{d}{6} \sqrt{2(1-m+m^2)} $

Quellen

Abgerufen von „https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Dreiecksverteilung&oldid=6700“