Klasse (Mengenlehre)

Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen nur teilweise:

Korrektheit: 4 (großteils überprüft)

Umfang: 2 (wichtige Fakten fehlen)

Quellenangaben: 2 (wichtige Quellen fehlen)

Quellenarten: 5 (ausgezeichnet)

Konformität: 5 (ausgezeichnet)

Anschauliche Definition

Eine Klasse fasst Klassen zu größeren Einheiten zusammen. Das heißt, eine Klasse kann beliebig viele Klassen als Element enthalten und Element von beliebig vielen Klassen sein.

Eine Klasse, die Element irgendeiner beliebigen Klasse ist heißt Menge.

Ein Klasse, die kein Element irgendeiner Klasse ist, heißt Unmenge oder echte Klasse.

Zwei Klassen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Diejenige Klasse, die keine anderen Klassen als Element enthält, heißt leere Menge, kurz $\emptyset$.

Anmerkungen

Es gibt nur eine leere Menge. Gäbe es eine zweite, so würde sie dieselben Elemente beinhalten wie die erste (nämlich keine) und wäre damit zur ersten gleich.

Dass es sich bei der leeren Menge tatsächlich um eine Menge handelt, muss axiomatisch sichergestellt werden, da man ansonsten Schwierigkeiten hätte überhaupt irgendwelche Mengen zu definieren.

Wie Klassen gebildet werden können und welche Klassen Mengen sind, wird ebenfalls axiomatisch festgelegt.

Die Unterscheidung zwischen Mengen und Unmengen stellt eine Möglichkeit dar, das Problem der Russellschen Antinomie zu vermeiden.

In der „Klassenlehre“ wird auf die Definition von „Urelementen“ verzichtet. Die leere Menge reicht als Urelement aus. Wenn man irgendwelche realen oder abstrakten Objekte in Klassen zusammenfassen will, so muss man zunächst die diese Objekte mit bestimmten Klassen identifizieren. Man muss also für jedes Objekt eine Klasse definieren, die diese Objekt repräsentiert.

Beispiel:

$0 := \emptyset$

$1 := \{\emptyset\}$

$2 := \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$

$3 := \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\},\emptyset\}\} = \{0,1,2\}$

Abschließend kann man auch „natürliche Zahlen“ in Klassen zusammenfassen:

$\{0,2\}= \{\emptyset,\{\{\emptyset\},\emptyset\}\}$

$\{0\} = \{\emptyset\} = 1$

$\{0,1\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\} = 2$

$\{0,1,2\} = \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\},\emptyset\}\} = 3$

Man beachte, dass die Repräsentanten der natürlichen Zahlen so definiert wurden, dass sie genau alle ihre Vorgänger als Elemente enthalten. Dies hat sich als besonder nützlich erwiesen. Aber es gibt selbstverständlich noch zahlreiche andere Möglichkeiten, natürliche Zahlen mit Klassen zu identifizieren.

Genaugenommen werden allerdings keine natürlichen Zahlen, sondern deren Stellvertreter zu Klassen zusammengefasst.

Axiomatische Definition

Bevor formale Definitionen der Begriffe Klasse und Menge angegeben werden können, müssen erst ein paar andere Begriffe definiert werden.

Sprache der Mengenlehre

Die Elementbeziehung $\in$ ist das einzige nicht-logische Element der Sprache der Mengenlehre. Alle anderen Elemente der Sprache der Mengenlehre sind Elemente der Logik: $\vee, \wedge, \neg, \Rightarrow, \Leftrightarrow, \forall, \exists$ sowie Variablen.

Atomare Formeln sind von der Bauart $x \in y$ ($x$ ist Element von $y$).

Außerdem wird definiert: $x \notin y :\Leftrightarrow \neg(x \in y)$ ($x$ ist kein Element von $y$).

Formale Definition des Begriffs Klasse

Eine Klasse ist eine durch eine Formel der Sprache der Mengenlehre definierbare Gesamtheit von Elementen:

Ist $A(x)$ eine (offene) Formel, in der die Variable $ x $ und eventuell weitere Variablen (so genannte Parameter) vorkommen können, so heißt $\{x|A(x)\}$ Klasse aller Elemente $x$ mit der Eigenschaft $A(x)$.

Ein Element $b$ ist genau dann ein Element der Klasse $\{x|A(x)\}\,$, wenn $A(b)$ gilt:

$b \in \{x|A(x)\} := A(b)$

weitere Definitionen

Zwei Klassen $ \mathcal A $, $ \mathcal B $ heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:

$\mathcal A = \mathcal B := \forall x: x \in \mathcal A \Leftrightarrow x \in \mathcal B$

Das heißt, zwei Klassen $ x $ und $ y $ sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente oder die Häufigkeit des Vorkommens einzelner Elemente an.

Eine Klasse $\mathcal A$ und eine Menge $m$ heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:

$\mathcal A = m := \forall x: x \in \mathcal A \Leftrightarrow x \in m$

Anmerkung: Wegen dieser Definition kann jede Menge als Klasse geschrieben werden und ist somit auch eine Klasse:

$m = \{x|x\in m\}$

Man kann daher die Klasse $\mathcal A$ mit der Menge $m$ identifizieren. Eine Menge ist laut Definition immer Element irgendeiner Klasse. Ein beliebige Klasse kann dagegen Element einer anderen Klasse sein (wenn sie eine Menge ist), muss es aber nicht (wenn sie keine Menge ist).

Eine Klasse $\mathcal A$ ist Element einer Menge $m$ bzw. einer Klasse $\mathcal B$, wenn sie gleich einem Element der Menge bzw. Klasse ist:

$\mathcal A \in m := \exists x: x \in m \wedge x = \mathcal A$

$\mathcal A \in \mathcal B := \exists x: x \in \mathcal B \wedge x = \mathcal A$

1. Axiom (Extensionalitätsaxiom)

Die Verträglichkeit zwischen der $ \in $-Relation und der Gleichkeit wird mit dem ersten Axiom der Mengenlehre sichergestellt:

$\forall x,y: (\forall z: z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x=y$

Spezielle Klassen

$\mathcal{V} := \{x|x=x\}$ ist die Allklasse, d.h. diejenige Klasse, die alle Mengen enthält.

$\mathcal{R} := \{x|x\notin x\}$ ist die Russell-Klasse, d.h. diejenige Klasse, die alle Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten. Die Russellsche Antinomie war der Auslöser für die Entwicklung einer Axiomatischen Mengenlehre.

Formale Definition des Begriffs Menge

Ein Klasse $m$ ist eine Menge, wenn sie Element der Allklasse ist:

$\mbox{Mg}(m) := m \in \mathcal{V}$

Bemerkung

Nach dieser Definition ist jedes Element einer Klasse eine Menge.

Diese Definition widerspricht zunächst einmal unserer Anschauung: In der Realität gibt es viele „Objekte“, die keine Mengen sind. Und diese Objekte sind derzeit keinen Element irgendwelcher Klassen. Das Problem lässt sich jedoch relativ einfach beheben, indem man jedes Objekt, das man mit mengentheoretischen Mitteln bearbeiten will, mit einer bestimmten Menge identifiziert. Zum Beispiel kann man die natürlichen Zahlen folgendermaßen definieren:

$0 := \{\}$

$1 := 0 \cup \{0\} = \{\{\}\}$

$2 := 1 \cup \{1\} = \{0, 1\} = \{\{\}, \{\{\}\}\}$

$3 := 2 \cup \{2\} = \{0, 1, 2\} = \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}$

...

Formale Definition des Begriffs Unmenge oder echte Klasse

Eine Klasse $u$ ist eine Unmenge oder echte Klasse, wenn sie kein Element der Allklasse ist:

\mbox{UMg}(m) := m \notin \mathcal{V}$

Beispiel für eine echte Klasse

Die Russell-Klasse ist eine echte Klasse, denn sonst wäre $ R \in R \Leftrightarrow R\notin R $.

Auch die Allklasse ist eine echte Klasse. Dies kann aber erst mit Hilfe weiterer Axiome gezeigt werden.

Bemerkungen

Die Begriffe Klasse und Menge werden eigentlich gar nicht definiert, sondern es wird nur gesagt, auf welche Art und Weise Formeln gebildet werden müssen, um mit diesen Begriffen arbeiten zu können. Das ist axiomatische Mathematik in Reinform. :-)

Quelle

1. Schwichtenberg (1985): Helmut Schwichtenberg; Mengenlehre; Hochschule: Ludwig-Maximilians-Universität; Adresse: München; 1985; Quellengüte: 4 (Skript)
2. Schwichtenberg (2000): Helmut Schwichtenberg; Mathematische Logik; Hochschule: Ludwig-Maximilians-Universität; Adresse: München; Web-Link; 2000; Quellengüte: 5 (Skript)

Siehe auch

Wikipedia:Klasse (Mengenlehre)