Klasse (Mengenlehre)

Anschauliche Definition

Eine Klasse ist eine Zusammenfassung von wohldefinierten und unterscheidbaren Elementen.

Als Elemente einer Klasse kommen reale und abstrakte Objekte, aber auch Klassen selbst in Frage.

Eine Klasse, die Element einer anderen Klasse ist heißt Menge. Ein Klasse, die kein Element irgendeiner Klasse ist, heißt Unmenge oder echte Klasse.

Bemerkung

Die Unterscheidung zwischen Mengen und Unmengen erfolgt, um das Problem der Russellschen Antinomie zu lösen.

Axiomatische Definition

Bevor formale Definitionen der Begriffe Klasse und Menge angegeben werden können, müssen erst ein paar andere Begriffe definiert werden.

Sprache der Mengenlehre

Die Elementbeziehung $ \in $ ist das einzige nicht-logische Element der Sprache der Mengenlehre. Alle anderen Elemente der Sprache der Mengenlehre sind Elemente der Logik: $ \vee, \wedge, \neg, \Rightarrow, \Leftrightarrow, \forall, \exists $ sowie Variablen.

Atomare Formeln sind von der Bauart $ x \in y $ ($ x\, $ ist Element von $ y\, $).

Außerdem wird definiert: $ x \notin y :\Leftrightarrow \neg x \in y $ ($ x\, $ ist kein Element von $ y\, $).

Gleichheit

Die Gleichheit $ =\, $ ist folgendermaßen definiert: $ x = y := \forall z: z \in x \Leftrightarrow z \in y $

Das heißt, zwei Klassen $ x $ und $ y $ sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente oder die Häufigkeit des Vorkommens einzelner Elemente an.

1. Axiom (Extensionalitätsaxiom)

Die Verträglichkeit zwischen der $ \in $-Relation und der Gleichkeit wird mit dem ersten Axiom der Mengenlehre sichergestellt:

$ \forall x,y: (\forall z: z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x=y $

Formale Definition des Begriffs Klasse

Eine Klasse ist eine durch eine Formel der Sprache der Mengenlehre definierbare Gesamtheit von Elementen:

Ist $ A(x) $ eine (offene) Formel, in der die Variable $ x $ und eventuell weitere Variablen (so genannte Parameter) vorkommen können, so heißt $ \{x|A(x)\} $ Klasse aller Elemente $ x $ mit der Eigenschaft $ A(x) $.

Formale Definition des Begriffs Menge

Eine Menge ist eine Klasse, die ein Element einer beliebigen Klasse ist:

$ \mbox{Mg}(m) := \exist k: m \in k $

Bemerkung

Nach dieser Definition ist jedes Element einer Klasse eine Menge. Insbesondere ist auch jedes Element einer Menge selbst einen Menge.

Diese Definition widerspricht zunächst einmal unserer Anschauung: In der Realität gibt es viele „Objekte“, die keine Mengen sind. Und diese Objekte sind derzeit keinen Element irgendwelcher Klassen. Das PRoblem lässt sich jedoch relativ einfach beheben, indem man jedes Objekt, das man mit mengentheoretischen Mitteln bearbeiten will, mit einer bestimmten Menge identifiziert. Zum Beispiel kann man die natürlichen Zahlen folgendermaßen definieren:

$ 0 := \{\}\, $

$ 1 := 0 \cup \{0\} = \{\{\}\} $

$ 2 := 1 \cup \{1\} = \{0, 1\} = \{\{\}, \{\{\}\}\} $

$ 3 := 2 \cup \{2\} = \{0, 1, 2\} = \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\} $

...

Formale Definition des Begriffs Unmenge oder echte Klasse

Eine Unmenge der echte Klasse ist eine Klasse, die kein Element einer Klasse ist:

$ \mbox{UMg}(u) := \neg \exist k: u \in k $

weitere Definitionen

Ein Element $ b\, $ ist genau dann ein Element der Klasse $ \{x|A(x)\}\, $, wenn $ A(b)\, $ gilt:

$ b \in \{x|A(x)\} := A(b) $

Zwei Klassen $ \mathcal A $, $ \mathcal B $ heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:

$ \mathcal A = \mathcal B := \forall x: x \in \mathcal A \Leftrightarrow x \in \mathcal B $

Eine Klasse $ \mathcal A $ und eine Menge $ b\, $ heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:

$ \mathcal A = b := \forall x: x \in \mathcal A \Leftrightarrow x \in b $

Anmerkung: Wegen dieser Definition kann jede Menge als Klasse geschrieben werden und ist somit auch eine Klasse:

$ b = \{x|x\in b\} $

Man kann daher die Klasse $ \mathcal A $ mit der Menge $ b\, $ identifizieren. Das heißt insbesondere, eine Menge ist laut Definition immer Element irgendeiner Klasse. Ein beliebige Klasse kann dagegen Element einer anderen Klasse sein (wenn sie eine Menge ist), muss es aber nicht (wenn sie keine Menge ist).

Eine Klasse $ \mathcal A $ ist Element einer Menge $ b\, $ bzw. eine Klasse $ \mathcal B $, wenn sie gleich einem Element der Menge bzw. Klasse ist:

$ \mathcal A \in b := \exists x: x \in b \wedge x = \mathcal A $

$ \mathcal A \in \mathcal B := \exists x: x \in \mathcal B \wedge x = \mathcal A $

Beispiele

$ V := \{x|x=x\}\, $ ist die Allklasse, d.h. diejenige Klasse, die alle Mengen enthält.

$ R := \{x|x\notin x\} $ ist die Russell-Klasse, d.h. diejenige Klasse, die alle Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten. Die Russellsche Antinomie war der Auslöser für die Entwicklung einer Axiomatischen Mengenlehre.

noch ein paar Eigenschaften und Definitionen

Ein Klasse $ a\, $ ist eine Menge, wenn sie Element der Allklasse ist: $ a \in V\, $

Ein Klasse $ \mathcal A\, $ heißt eine Unmenge oder echte Klasse, wenn sie kein Element der Allklasse ist: $ a \notin V \, $

Die Russell-Klasse ist eine echte Klasse, denn sonst wäre $ R \in R \Leftrightarrow R\notin R $.

Bemerkungen

Die Begriffe Klasse und Menge werden eigentlich gar nicht definiert, sondern es wird nur gesagt, auf welche Art und Weise Formeln gebildet werden müssen, um mit diesen Begriffen arbeiten zu können. Das ist axiomatische Mathematik in Reinform. :-)

Quelle

• Schwichtenberg, H. (1985): Mengenlehre
• Schwichtenberg, H. (2000): Mathematische Logik

Siehe auch

Wikipedia:Klasse (Mengenlehre)