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| | #REDIRECT [[GlossarWiki:Impressum]] |
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| ==Ursprüngliche Definition==
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| Der Begriff '''Klasse''' wurde zu Zeiten, als [[John von Neumann]], [[Paul Bernays]] und [[Kurt Gödel]] diesem Begriff noch nicht seine heutige Bedeutung gegeben hatten, häufig als Synonym für den Begriff '''{{Menge}}''' verwendet.<ref>siehe beispielsweise {{Quelle|Russell, B. (1903): The Principles of Mathematics}}</ref>
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| ==Anschauliche moderne Definition==
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| Der Begriff {{Klasse}} wird in der „modernen“ Mathematik als Verallgemeinerung des Begriffes {{Menge}} verwendet.
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| Eine {{Klasse}} fasst – genauso wie eine Menge – bestimmte unterschiedliche Objekte mittels der '''Element'''-Beziehung zu einer ungeordneten Einheit zusammen.
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| Allerdings unterscheidet man nun zwei Arten von Klassen:
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| * '''Mengen'''
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| * '''Unmengen''' (oder '''echte Klassen''')
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| Mengen sind „gutartige“ Klassen, in dem Sinne, dass sie selbst Element diverser Klassen sein können.
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| Es ist auch nicht verboten, dass sich sich eine Menge selbst als Element enthält.
| |
| Unmengen sind dagegen so umfangreich, dass sie in überhaupt keiner Klasse als Element vorkommen können.
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| ==Definition in Anlehnung Schmidt<ref name="Schmidt">{{Quelle|Schmidt (1966)}}</ref>==
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| ===Definitionen „mengentheoretische Aussageform“ und „mengentheoretische Aussage“===
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| Eine [[Prädikatenlogik erster Stufe|prädikatenlogische Aussageform erster Stufe]] heißt '''mengentheoretische Aussageform''', wenn in dieser
| |
| Aussageform alle Prädikate die Form $x \in y$ haben. Eine geschlossene Aussageform, d.h. eine Aussageform, in der alle Variablen durch [[Quantor]]en gebunden sind, heißt
| |
| '''mengentheoretische Aussage'''.
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| Die Elementbeziehung $\in$ ist also das einzige Prädikatssymbol in einer mengentheoretische Aussageform.
| |
| Alle anderen Symbole entstammen der [[Prädikatenlogik erster Stufe]]: $\top, \bot, \wedge, \vee, \neg, \rightarrow, \leftrightarrow, \bigwedge, \bigvee$ sowie Variablen.
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| ===Definition „Klasse“===
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| Gegeben seien ein Klassenuniversum $\mathcal K$ und ein zweistelliges Prädikat $\in$.
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| Eine {{Klasse}}, d.h. ein Mitglied des Klassenuniversums $\mathcal K$
| |
| zeichnet sich dadurch aus, dass sie Klassen als Elemente enthalten und Element von Klassen sein kann:
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| {{Quote|Für je zwei Klassen $x$ und $y$ gilt entweder<br/>
| |
| $\quad x$ ist Element von $y$, kurz $x \in y$<br/>
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| oder<br/>
| |
| $\quad x$ ist kein Element von $y$, kurz $\neg(x \in y)$ oder kürzer $x \notin y$.
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| }}
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| Die Eigenschaften von {{Klasse}}n werden axiomatisch mit Hilfe von mengentheoretische Aussageformen für ein „Universum“ $\mathcal{K}$ von Klassen festgelegt.
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| ===Weitere Prädikate===
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| Für das Klassenuniversum gibt es diverse weitere Prädikate. Diese werden allerdings alle
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| mit Hilfe der Element-Beziehung (als Abkürzungen für spezielle mengentheoretische Aussageformen) definiert.
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| |
| Eine Klasse $a$, die Element irgendeiner beliebigen Klasse ist, heißt '''Menge''':<br/>
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| {{Formel|\rm{Mg}(a) \; :\leftrightarrow \; \bigvee k: a \in k}}
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| |
| Ein Klasse $a$, die kein Element irgendeiner Klasse ist, heißt '''Unmenge''' oder '''echte Klasse''':
| |
| {{Formel|\rm{UMg}(a) \; :\leftrightarrow \; \neg\rm{Mg}(a) \;\;(\leftrightarrow\; \neg\bigvee k: a \in k \;\leftrightarrow\; \bigwedge k: a \notin k)}}
| |
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| Eine Klasse $a$ heißt '''Teilklasse''' einer Klasse $b$, wenn jedes Element von $a$ auch Element von $b$ ist; alternativ
| |
| sagt man auch $b$ ist '''Oberklasse''' von $a$:
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| {{Formel|a \subseteq b \; :\leftrightarrow \; b \supseteq a \; :\leftrightarrow \; \bigwedge k: (k \in a \rightarrow k \in b)}}
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| |
| Zwei Klassen heißen '''gleich''', wenn sie dieselben Elemente enthalten, anderenfalls heißen sie '''ungleich''':
| |
| {{Formel|a {{=}} b \; :\leftrightarrow \; \bigwedge k: (k \in a \leftrightarrow k \in b)}}
| |
| {{Formel|a \neq b \; :\leftrightarrow \; \neg(a {{=}} b)}}
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| |
| Eine Klasse $a$ heißt '''echte Teilklasse''' einer Klasse $b$, falls $a$ Teilklasse von $b$ aber ungleich $b$ ist;
| |
| alternativ sagt man auch „$b$ ist '''echte Oberklasse''' von $a$“:
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| {{Formel|a \subset b \; :\leftrightarrow \; b \supset a \; :\leftrightarrow \;(a \subseteq b \wedge b \neq a)}}
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| ===Klassenkonstruktion===
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| |
| Wenn $A(m)$ eine mengentheoretische [[Aussageform]] ist, in der die Variable <math>m</math> [[frei]] vorkommen kann,
| |
| dann heißt $\{m:A(m)\}$ {{Klasse}} aller [[Element]]e $m$ mit der Eigenschaft $A(m)$.
| |
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| |
| Hier wurde ein so genanntes Termschema definiert:
| |
| Für jede konkrete mengentheoretische Aussageform $A(m)$ ergibt sich ein konkreter Term $\{m:A(m)\}$.
| |
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| |
| Damit diese Terme in mengentheoretischen Aussagen und Aussageformen verwendet werden können, werden folgende zwei Vereinbarungen getroffen:
| |
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| {{Formel|a \in \{m:A(m)\} \;:\leftrightarrow\; \rm{Mg}(a) \wedge A(a)}}
| |
| {{Formel|\{m:A(m)\} \in a \;:\leftrightarrow\; \bigvee k: ( k \in a \,\wedge\, \bigwedge m: (m \in k \leftrightarrow \rm{Mg}(m) \wedge A(m)) )}}
| |
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| |
| Mit Hilfe dieser beiden Definitionen kann jeder Klassenterm $\{m:A(m)\}$ in jeder beliebigen Aussageform „eliminiert“ werden,
| |
| indem der Term einfach durch die ihn definierende Aussageform ersetzt wird.
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| |
| Die freie Variable muss nicht unbedingt $m$ heißen, sondern kann anders benannt werden, solange sich dadurch nicht die Semantik der
| |
| Aussageform $A(m)$ ändert. Insbesondere kann $m$ durch jede Variable $x$ ersetzt werden, die nicht als gebundene Variable im $A(m)$ enthalten ist.
| |
| Der so geänderte Term beschreibt dieselbe Klasse:
| |
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| |
| <div class="formula">
| |
| $\begin{array}{rclclcl}
| |
| a \in \{m:A(m)\} & \;\leftrightarrow\; & \rm{Mg}(a) \wedge A(a) \\
| |
| & \;\leftrightarrow\; & a \in \{x:A(x)\}\\
| |
| \{m:A(m)\} \in a & \;\leftrightarrow\; & \bigvee k: ( k \in a \,\wedge\, \bigwedge m: (m \in k \leftrightarrow \rm{Mg}(m) \wedge A(m)))\\
| |
| & \;\leftrightarrow\; & \bigvee k: ( k \in a \,\wedge\, \bigwedge x: (x \in k \leftrightarrow \rm{Mg}(x) \wedge A(x)))\\
| |
| & \;\leftrightarrow\; & \{x:A(x)\} \in a
| |
| \end{array}
| |
| $</div>
| |
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| |
| Allerdings ist nicht jede Umbenennung erlaubt.
| |
| Beispielsweise kann in der Aussageform $A(m) = \bigvee x: x \in m$ die freie Variable $m$ nicht durch $x$ ersetzt werden, sich dadurch die Semantik ändert:
| |
|
| |
| <div class="formula">$\{m: \bigvee x: x \in m \}$ ist nicht äquivalent zu $\{x: \bigvee x: x \in x\}$</div>
| |
|
| |
| Wenn $A(m,v_1,\ldots,v_n)$ neben $m$ noch weitere freie Variablen $v_1,\ldots,v_n$ enthält,
| |
| ergibt sich für jede konkrete [[Belegung]] $[v_1|a_1,\ldots,v_n|a_n]$ dieser weiteren freien Variablen ein eigener Term $\{m:A(m,v_1|a_1,\ldots,v_n|a_n)\}$,
| |
| indem in $A$ jedes freie Vorkommen der Variablen $v_i$ durch den konkreten Wert $a_i$ ersetzt wird.
| |
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| |
| ==Spezielle Klassen Anlehnung Schmidt<ref name="Schmidt"/>==
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| :{|
| |
| || $\emptyset $ || $:= \{m: \bot \} = \{m: \rm{UMg}(m)\} = \{m: m \not= m\} $ || ist die '''leere Menge''', d.h. diejenige Klasse, die keine Mengen (und auch keine Unmengen!) enthält.
| |
| |-
| |
| || $\mathcal{V} $ || $:= \{m: \top \} = \{m: \rm{Mg}(m)\} = \{m: m = m\} $ || ist die '''Allklasse''', d.h. diejenige Klasse, die alle Mengen enthält.
| |
| |-
| |
| || $\mathcal{R} $ || $:= \{m: m\notin m\}$ || ist die '''Russell-Klasse''', d.h. diejenige Klasse, die alle Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten.
| |
| |-
| |
| || $a \cup b $ || $:= \{m: m \in a \vee m \in b\}$ || ist die [[Vereinigung]] zweier Klassen $a$ und $b$
| |
| |-
| |
| || $a \cap b $ || $:= \{m: m \in a \wedge m \in b\}$ || ist der [[Durchschnitt]] zweier Klassen $a$ und $b$
| |
| |-
| |
| || $a \setminus b $ || $:= \{m: m \in a \wedge m \notin b\}$ || ist die [[Differenz]] zweier Klassen $a$ und $b$
| |
| |-
| |
| || $\bar a $ || $:= \{m: m \notin a \} = \mathcal{V} \setminus a$ || ist das [[Komplement]] der Klasse $a$
| |
| |-
| |
| || $\{\} $ || $:= \emptyset$ || ist ein alternativer Name für die '''leere Menge'''
| |
| |-
| |
| || $\{a\} $ || $:= \{m: \rm{Mg}(a) \rightarrow m = a\}$ || ist die einelementige Menge; es gilt $\rm{Mg}(a) \leftrightarrow (m \in \{a\} \leftrightarrow m=a)$ und $\rm{UMg}(a) \leftrightarrow \{a\} = \mathcal{V}$
| |
| |-
| |
| || $\{a, b\} $ || $:= \{a\} \cup \{b\} $ || ist die zweielementige Menge (falls $a \not=b$)
| |
| |-
| |
| || $\{a, b, c\} $ || $:= \{a, b\} \cup \{c\} $ || ist die dreielementige Menge (falls $a$, $b$, $c$ paarweise verschieden sind)
| |
| |-
| |
| || $\vdots $ ||
| |
| |-
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| |}
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| ====Alternative Definition der einelementigen Menge====
| |
| Alternativ könnte man auch $\{a\} := \{x: x = a\}$ festsetzen. Für Mengen ergäbe sich daraus kein Unterschied zur obigen Definition. Für
| |
| Unmengen würde dagegen $\rm{UMg}(a) \leftrightarrow \{a\} = \emptyset$ an Stelle von $\rm{UMg}(a) \leftrightarrow \{a\} = \mathcal V$ gelten. In den meisten Fällen ist es praktischer, Unmengen auf die Unmenge
| |
| $\mathcal{V}$ und nicht auf die leere Mengen $\emptyset$ abzubilden, da man normalerweise weniger Fallunterscheidungen treffen muss.
| |
| Beispielsweise gilt im ersten Fall $\{\{\mathcal R\}\} = \mathcal V$, im zweiten Fall dagegen $\{\{\mathcal R\}\} = \{\emptyset\}$.
| |
| Das heißt, bei der Alternativdefinition würde man dem Ergebnis nicht mehr ansehen, dass ursprünglich versucht wurde, eine Unmenge als Element
| |
| in eine Menge zu stecken. Allerdings bietet auch die Alternativdefinition Vorteile. Zum Beispiel ist $\{a\}$ im Falle der Alternativdefinition stets eine Menge.
| |
|
| |
| Anthony Morse löst diese Problem, indem er in seiner Mengenlehre die „einelementige“ Klasse für jede Klasse $a$ auf beide Arten definiert: $\rm{sngl}\,a$ ist bei ihm die zugehörige „einelementige“ Klasse mit $\rm{sngl}\,a = \mathcal V$ im Falle von Unmengen $a$ und $\rm{sng}\,a$ ist die „einelementige“ Menge mit $\rm{sng}\,a = \emptyset$ im Falle von Unmengen $a$. Für
| |
| Mengen $a$ stimmen diese beiden Definitionen überein und enthalten jeweils auch nur ein Element, nämlich $a$.
| |
| Darüber hinaus definiert Morse $\{x\} := \rm{sngl}\,x$. Das heißt, er definiert $\{a\}$
| |
| genauso wie Schmidt.<ref name="Morse">{{Quelle|Morse (1965)}}, 2.45, 2.5.5.0</ref>
| |
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| |
| ==Verzicht auf Urelemente==
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| |
| In der klassenbasierten Mengenlehre wird heutzutage ebenso wie in der „reinen“ Mengenlehre
| |
| auf die Definition von „[[Urelement]]en“ verzichtet. Die ''leere Menge'' reicht als Urelement aus.
| |
| Wenn man irgendwelche realen oder abstrakten Objekte in Klassen zusammenfassen will, so muss man zunächst die
| |
| diese Objekte mit bestimmten Klassen identifizieren. Man muss also für jedes Objekt eine Klasse definieren, die diese Objekt repräsentiert.
| |
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| |
| [[John von Neumann]] hat beispielsweise vorgeschlagen, die Ordinalzahlen – und damit als Spezialfall die natürlichen Zahlen –
| |
| so zu definieren, dass jede [[Ordinalzahl]]
| |
| (Neuman spricht von „Ordnungszahl“) alle ihre Vorgänger als Elemente enthält<ref>{{Quelle|Neumann (1923)}}</ref>:
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|
| |
| <div class="formula">$0 := \{\}$</div>
| |
| <div class="formula">$1 := 0 \cup \{0\} = \{\{\}\}$</div>
| |
| <div class="formula">$2 := 1 \cup \{1\} = \{0, 1\} = \{\{\}, \{\{\}\}\}$</div>
| |
| <div class="formula">$3 := 2 \cup \{2\} = \{0, 1, 2\} = \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}$</div>
| |
| <div class="formula">$\vdots$</div>
| |
| <div class="formula">$\omega = \{0, 1, 2, \ldots\} = \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \ldots\}$</div>
| |
| <div class="formula">$\omega+1 = \omega \cup \{\omega\} = \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \ldots, \{ \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \ldots\}\}\}$</div>
| |
| <div class="formula">$\vdots$</div>
| |
|
| |
| Anschließend kann man auch beliebige Ordinalzahlen in Klassen zusammenfassen.
| |
| Genaugenommen werden allerdings keine Ordinalahlen, sondern deren Stellvertreter zu Klassen zusammengefasst:
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| <div class="formula">$\{0,2\}= \{\{\},\{\{\{\}\},\{\}\}\}$</div>
| |
| <div class="formula">etc.</div>
| |
|
| |
| Die Definition von Neumann hat sich als besonders nützlich erwiesen, gerade weil sie nicht nur auf natürliche Zahlen beschränkt ist.
| |
| Aber es gibt selbstverständlich noch zahlreiche andere Möglichkeiten, natürliche Zahlen oder Ordinalzahlen durch Klassen zu repräsentieren.
| |
|
| |
| Beispiel für eine Alternativ-Definition der natürlichen Zahlen:
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| <div class="formula">$0 := \{\}$</div>
| |
| <div class="formula">$1 := \{\{\}\}$</div>
| |
| <div class="formula">$2 := \{\{\{\}\}\}$</div>
| |
| <div class="formula">$3 := \{\{\{\{\}\}\}\}$</div>
| |
| <div class="formula">$\vdots$</div>
| |
| <div class="formula">$n+1 := \{n\}$</div>
| |
|
| |
| =====Vor- und Nachteile des Verzichts auf Urelemente=====
| |
|
| |
| Der gravierende Vorteil, den der Verzicht auf Urelemente bietet, ist, dass man sich in Beweisen viele Fallunterscheidungen
| |
| der Art „Wenn $x$ ein Urelement ist ..., anderenfalls ...“ spart.
| |
|
| |
| Ein Nachteil ist, dass Mengenoperationen aus Mengen, die keine Urelemente repräsentieren, zufällig Mengen erzeugen können,
| |
| die Urelemente repräsentieren, obwohl dies im aktuellen Kontext evtl. gar nicht von Bedeutung ist.
| |
|
| |
| Ein weiterer Nachteil könnte sein, dass Mengen, die Urelemente repräsentieren, zusätzliche Eigenschaften haben, die
| |
| die eigentlichen Urelemente gar nicht haben. Beispielsweise gelten für Ordinalzahlen, die auf die von-neumannsche Art
| |
| definiert werden, ungewöhnliche Zusatzbeziehungen:
| |
|
| |
| <div class="formula">$\bigwedge m,n \in \Omega: m<n \leftrightarrow m \in n$</div>
| |
| <div class="formula">$4 \cap 2 = 2$ oder allgemeiner $\bigwedge m,n \in \Omega: m \cap n = \rm{min}(m,n)$</div>
| |
| <div class="formula">etc.</div>
| |
|
| |
| Für die Ordinalzahlen selbst gelten diese Beziegunhen dagegen nicht, da die Element-Beziehung, der Mengendurchschnitt etc. gar nicht definiert sind.
| |
| Und wenn man natürliche oder Ordinalzahlen durch andere Mengen repräsentiert,
| |
| ergeben sich andere Gesetzmässigkeiten. Wenn beispielsweise die obige Alternativ-Definition
| |
| verwendet wird, dann gilt:
| |
|
| |
| <div class="formula">$4 \cap 2 = 0$ oder allgemeiner $\bigwedge m,n \in \mathbb{N}:m \cap n = \{\}$</div>
| |
|
| |
| Die zusätzlichen Mengeneigenschaften, die Von-Neumann-Ordinalzahlen haben, haben sich allerdings
| |
| nicht als Nachteil, sondern als Vorteil erwiesen, da damit viele Beweise über die
| |
| Ordinalzahlen mit mengentheoretischen Hilfsmitteln beweisen lassen.
| |
|
| |
| =====Unterschied zwischen Mathematik und Informatik=====
| |
| Ein wesentlicher Unterschied zwischen Mathematik und Informatik ist die Behandlung von [[Urelement]]en:
| |
| In der Mathematik wird heute – wie zuvor beschriben wurde– i.Allg. auf Urelemente ganz verzichtet.
| |
| Stattdessen werden bestimmte Mengen (oder Klassen) als Repräsentanten für die
| |
| benötigten Urelemente verwendet.
| |
|
| |
| In der Informatik sind Urelemente dagegen von zentraler Bedeutung. Diese werden i. Allg. [[Wert]]e oder [[Atom]]e genannt. Beispiele:
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| * Boolesche Werte
| |
| * Numerische Werte
| |
| * Zeichenketten
| |
| * etc.
| |
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| ===Axiomatisierung===
| |
| Dass auf die zuvor beschriebene Art Weise tatsächlich Klassen gebildet werden können
| |
| und welche dieser Klassen Mengen sind, wird [[Axiom|axiomatisch]] festgelegt.
| |
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| |
| ====Komprehensionsaxiome====
| |
|
| |
| Es sei $A(k)$ eine mengentheoretische [[Aussageform]] in der $k$ eventuell als freie Variable vorkommt.
| |
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| Die [[Komprehensionsaxiom]]e – es gibt [[abzählbar]] viele davon, da für es jede der Aussageformen $A(k)$ ein eigenes Axiom gibt – sagen aus,
| |
| unter welchen Umständen die Klasse $\{k: k \in A(k)\}$ existiert, also unter welchen Umständen die
| |
| Objekte $k$ zu einer Klasse zusammengefasst werden können (Komprehension = Zusammenfassung).
| |
|
| |
| =====Naive Komprehensionsaxiome=====
| |
| [[Gottlob Frege]] hat in seinen „Grundgesetzen der Arithmetik“<ref>{{Quelle|Frege (1893)}}</ref> die uneingeschränkte Mengenbildung bzw.
| |
| Klassenbildung zugelassen. (Zu dieser Zeit wurden die Begriffe „Menge“ und „Klasse“ noch als Synonyme verwendet.)
| |
|
| |
| Die „naiven“ Komprehensionsaxiome lauten daher folgendermaßen:
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| <div class="formula">Für jede mengentheoretische Aussageform $A(k)$ gilt: $\bigvee K: \bigwedge k: (k\in K \leftrightarrow A(k))$</div>
| |
|
| |
| Diese Axiome führen jedoch sofort zur [[Russellsche Antinomie|Russellschen Antinomie]], indem man $A(k) := k \not\in k$ setzt.
| |
| Das zugehörige Komprehensionsaxiom lautet:
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|
| |
| <div class="formula">$\bigvee K: \bigwedge k: (k\in K \leftrightarrow k \notin k)$</div>
| |
|
| |
| Es sei $\mathcal R$ eine derartige Klasse $K$, dann gilt für jede Klasse $k$:
| |
|
| |
| <div class="formula">$k \in \mathcal R \leftrightarrow k \notin k$</div>
| |
|
| |
| Insbesondere gilt dies für die Klasse $\mathcal R$. Dies führt aber zu einem logischen Widerspruch:
| |
|
| |
| <div class="formula">$\mathcal R \in \mathcal R \leftrightarrow \mathcal R \notin \mathcal R$</div>
| |
|
| |
| Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Komprehension so zu beschänken, dass die Russellsche Antinomie nicht mehr direkt aus
| |
| diesem Axiom abgeleitet werden kann. (Ob sie mit Hilfe weiterer Axiome der Mengenlehre abgeleitet werden kann, ist dagegen unbekannt.
| |
| Falls dies nicht der Fall sein sollte – wovon man heute ausgeht –, kann dies jedoch nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus
| |
| dem zweiten [[Unvollständigkeitssatz]] von [[Kurt Gödel]]<ref name="Gödel">{{Quelle|Gödel, K. (1931): Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I}}</ref> ziehen kann.)
| |
|
| |
| =====Klassen-Komprehensionsaxiome=====
| |
|
| |
| In der [[Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]] werden folgende Komprehensionsaxiome eingesetzt, bei der darauf geachtet wird, dass nur Mengen (aber keine Unmengen) in Klassen zusammengefasst werden:
| |
|
| |
| <div class="formula">Für jede mengentheoretische Aussageform $A(k)$ gilt: $\bigvee K: \bigwedge k: (k\in K \leftrightarrow \rm{Mg}(k) \wedge A(k))$</div>
| |
|
| |
| Hier gilt für eine zur Aussageform $k \notin k$ gehörige Klasse $\mathcal R$:
| |
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| <div class="formula">$\mathcal R \in \mathcal R \leftrightarrow \rm{Mg}(\mathcal R) \wedge \mathcal R \notin \mathcal R$</div>
| |
|
| |
| Und daraus folgt $\neg\rm{Mg}(\mathcal R)$, d.h. $\mathcal R$ ist eine Unmenge, da anderenfalls eine Widerspruch auftreten würde.
| |
| Es gibt also (mindestens) eine Russell-Klasse $\mathcal R$, die aber keine Menge, sondern eine Unmenge ist.
| |
|
| |
| Die Unterscheidung zwischen [[Menge]]n und [[Unmenge]]n stellt somit eine Möglichkeit dar, das Problem der [[Russellsche Antinomie|Russellschen Antinomie]] zu vermeiden:
| |
|
| |
| Auch die Allklasse ist eine echte Klasse. Dies kann aber erst mit Hilfe weiterer Axiome gezeigt werden.
| |
|
| |
| ==Einfache Lemmata==
| |
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| |
| ===Gleichheit von Klasse===
| |
|
| |
| Die Gleichheitsbeziehung ist eine [[Äquivalenzrelation]]:
| |
|
| |
| {{Formel|\bigwedge a: a {{=}} a}}
| |
| {{Formel|\bigwedge a, b: a {{=}} a \leftrightarrow b {{=}} a}}
| |
| {{Formel|\bigwedge a,b,c : a{{=}}b \wedge b{{=}}c \rightarrow a{{=}}c}}
| |
|
| |
| Der [[Satz von Löwenheim/Skolem]] für die [[Prädikatenlogik erster Stufe]] besagt, dass jede [[Erfüllbarkeit|erfüllbare Menge]] von prädikatenlogischen Aussagen ein abzählbares Modell hat.
| |
| Daraus folgt insbesondere, dass es ohne Auszeichnung der Gleichheit unmöglich ist, Mengen einer festen endlichen Kardinalität oder endliche Mengen zu charakterisieren.<ref>{{Quelle|Güntzer, Schmidt, Kempf, Möller (1989)}}, S. 3.4-18</ref>
| |
|
| |
| Um dieses „Problem“ zu vermeiden, müsste man [[Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit]] zur Definition mengentheoretischer Aussagen verwenden.
| |
| Das heißt, neben dem Prädikat „$\in$“ gäbe es noch das Gleichheitsprädikat „$=$“, dessen Bedeutung prädikatenlogisch und nicht mengentheoretisch definiert werden würde.
| |
|
| |
| Einen großen Vorteil würde man damit aber nicht erzielen. So oder so gibt es beliebig viele Darstellungen einer endlichen Menge, wie z.B.
| |
| {{Formel| \{1,5\} {{=}} \{5,1\} {{=}} \{1,1,5\} {{=}} \{1,5,1,5\} {{=}} \{1,5,1,1,1,5\} {{=}} \ldots | (Darstellungen einer zweielementigen Menge)}}
| |
|
| |
| Ohne die Sonderbehandlung der Gleichheit spiegelt sich dies auch in den möglichen Modellen wieder, da es Modelle geben kann, in denen eine
| |
| Menge (oder Klasse) nicht nur durch ein Objekt, sondern durch diverse äquivalente Objekte repräsentiert wird.
| |
| Beispielsweise könnte die zweielementige Menge $\{1,5\}$ im Modell durch eine Vielzahl von [[Zeichenkette]]n repräsentiert werden (vgl. [[Herbrandinterpretation]]):
| |
|
| |
| <div class="formula"><code>{1,5}</code>, <code>{5,1}</code>, <code>{1,1,5}</code>, <code>{1,5,1,5}</code>, <code>{1,5,1,1,1,5}</code> etc.</div>
| |
|
| |
| Ob durch die Sonderbehandlung der Gleichheit die Anzahl der möglichen Modelle etwas eingeschränkt wird oder nicht, ist
| |
| angesichts der Tatsache, dass man sowieso mit zahlreichen Darstellungen einer Menge (oder Klasse) konfrontiert wird nicht wirklich von Bedeutung.
| |
|
| |
| Viel wichtiger wäre die Beantwortung der Frage, ob es überhaupt ein Modell gibt. Aber diese Frage lässt sich – als eine weitere Schlussfolgerung aus dem zweiten [[Unvollständigkeitssatz]] von [[Kurt Gödel]]<ref name="Gödel" /> – nicht beantworten.
| |
|
| |
| ===Die leere Menge===
| |
| Die leere Menge erfüllt die Bedingung $\bigwedge x: x \notin \emptyset$.
| |
|
| |
| Es gibt nur eine ''leere Menge''. Gäbe es eine zweite, so würde sie dieselben
| |
| Elemente beinhalten wie die erste (nämlich keine) und wäre damit zur ersten gleich.
| |
|
| |
| ===Alternative Definition der Begriffe „Menge“ und „Unmenge“ ===
| |
|
| |
| Ein Klasse $k$ ist eine '''Menge''', wenn sie Element der Allklasse ist:
| |
| <div class="formula">$\mbox{Mg}(k) \leftrightarrow k \in \mathcal{V}$</div>
| |
|
| |
| Eine Klasse $k$ ist eine '''Unmenge''' oder '''echte Klasse''', wenn sie kein Element der Allklasse ist:
| |
| <div class="formula">$\rm{UMg}(k) \leftrightarrow k \notin \mathcal{V}$</div>
| |
|
| |
| ==Quellen==
| |
| <references/>
| |
|
| |
| ==Siehe auch==
| |
|
| |
| #{{SieheAuch|Felscher (1978)}}
| |
| #{{SieheAuch|Ebbinghaus (2003)}}
| |
| #[[Wikipedia:Klasse (Mengenlehre)]]
| |
| #[[Wikipedia:Ackermann-Mengenlehre]]
| |
| [[Kategorie:Mengenlehre]]
| |
